1、第四节基本不等式【最新考纲】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)那么当xy时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)那么当xy时，xy有最大值.(
2、简记：“和定积最大”)4几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab(a，bR)(4)(a，bR)1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案：(1)(2)(3)(4)2设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82解析：xy81，当且仅当xy9时等号成立答案：C3若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2解析：
3、a2b22ab(ab)20，A错误对于B，C当a0，b0，2 2.答案：D4(2015福建卷)若直线1(a0，b0)过点(1，1)，则ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5解析：因为直线1(a0，b0)过点(1，1)，所以1，所以ab(ab)222 4(当且仅当ab2时取等号)答案：C5一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大解析：设矩形的长为x m，宽为y m则x2y30，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号答案：15一种方法基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能
4、，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解两个变形基本不等式的变形1.ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；2. (a0，b0，当且仅当ab时取等号)三点注意1使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可2在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件3多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性一、选择题1已知x1，则函数yx的最
5、小值为()A1B0C1D2解析：由于x1，则x10，所以yx(x1)12 11，当且仅当x1，由于x1，即当x0时，上式取等号答案：C2(2015陕西卷)设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bprp Dprq解析：因为ba0，故.又f(x)ln x(x0)为增函数，所以ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln p.答案：B3设a0，b0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.解析：由题意可知33a32b3a2b，即a2b1.因为a0，b0，所以(a2b)42 48，当且仅当，
6、即a2b时取“”答案：A4(2016郑州外国语学校月考)若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQ BQPRCPQR DPRb1，lg alg b0，(lg alg b)，即QP.，lglg(lg alg b)Q，即RQ，PQ0，b0)若mn，则ab的最大值为_解析：依题意得2a1b，即2ab1(a0，b0)，因此12ab2，即ab，当且仅当2ab时取等号，因此ab的最大值是.答案：7已知函数f(x)x(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_解析：由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，所以214，解得p.答案：8某公司一年
7、购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨解析：每次都购买x吨，则需要购买次运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为44x万元44x160，当且仅当4x时取等号，x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小答案：209(2015山东卷)定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_解析：因为xy，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立答案：三、解答题10正数x，y满足1.(1)求xy的最小值；(2)求x2
8、y的最小值解：(1)由12 得xy36，当且仅当，即y9x18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得，x2y(x2y)19192 196，当且仅当，即9x22y2时取等号，故x2y的最小值为196.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：x0，y0，2x8yxy0，(1)xy2x8y2，8，xy64.故xy的最小值为64.(2)由2x8yxy，得：1，xy(xy)1(xy)1010818.当且仅当时，即x12，y6时等号成立故xy的最小值为18.不等式及其应用本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等
9、式及其应用针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化强化点1一元二次不等式的综合应用 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_(2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_解析：(1)由于f(x)为R上的奇函数，所以当x0时，f(0)0；当x0，所以f(x)x2
10、4xf(x)，即f(x)x24x，所以f(x)由f(x)x，可得或解得x5或5x0，所以原不等式的解集为(5，0)(5，)(2)由题意得或解得1x0或0x1.x的取值范围为(1，1)答案：(1)(5，0)(5，)(2)(1，1)一元二次不等式综合应用问题的常见类型及解题策略1与函数的定义域、集合的综合此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集2与分段函数问题的综合解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解3与函数的奇偶性等的综合解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解【变式训练
11、】(2014广东卷节选)设函数f(x)，其中k0，因此或设y1x22xk3，y2x22xk1，则这两个二次函数的对称轴均为x1，且方程x22xk30的判别式144(k3)4k8，方程x22xk10的判别式244(k1)84k，因为k10，因此对应的两根分别为x1，21，x3，41，且有1110，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.答案：B基本不等式是解决函数、方程等问题的重要工具、归纳起来，常见的命题角度有：(1)判断不等式是否成立或比较大小
12、；(2)条件不等式的最值问题；(3)求参数的值或取值范围角度一判断不等式是否成立或比较大小1设a，b，c(0，)，则“abc1”是“abc”的()A充分条件但不是必要条件B必要条件但不是充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要的条件解析：当abc2时，有abc，但abc1，所以必要性不成立当abc1时，abc，所以充分性成立故“abc1”是“abc”的充分不必要条件答案：A角度二条件不等式的最值问题2(2015重庆卷)设a，b0，ab5，则的最大值为_解析：令t，则t2a1b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.tmax3.答案：3角度三求参数的值或取值范
13、围3已知a，b为正实数，且ab1，若不等式(xy)m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是()A4，) B(，1C(，4 D(，4)解析：因为a，b，x，y为正实数，所以(xy)abab2224，当且仅当ab，即ab，xy时等号成立，故只要mlg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：取x，则lglg x，故排除A；取x，则sin x1，故排除B；取x0，则1，排除D.答案：C2(2015安徽卷)已知x，y满足约束条件则z2xy的最大值是()A1B2C5D1解析：约束条件下的可行域如图所示，由z2xy可知y2xz，当直线y2xz过点A(1，1
14、)时截距最大，此时z最大为1.答案：A3不等式x2的解集是()A，0)(2，4 B0，2)4，)C2，4) D(，2(4，)解析：当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，解得x4；当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，解得0x3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1，0)C(0，1) D(1，)解析：因为函数yf(x)为奇函数，所以f(x)f(x)则.化简可得a1.则3，即30，即0，故不等式可化为0，即12x2，解得0x0，b0且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4 C4 D2解析：由0得k，又24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k
15、的最小值等于4.答案：C6(2015重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3 B1 C. D3解析：作出可行域，通过面积建立方程求出参数m的值作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，B(1m，1m)，C，D(2m，0)SABCSADBSADC|AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)答案：B二、填空题7已知x1，则x的最小值为_解析：x1，x10，x(x1)1415，当且仅当x1即x3时等号成立答案：58(2016石家庄一模)若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是_解析：如图，作
16、出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线ykx3的斜率在0与1之间，即k(0，1)答案：(0，1)9设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_解析：由题意，要使8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，需64sin232cos 20，化简得cos 2.又0，02或22，解得0或.答案：三、解答题10已知不等式0(aR)(1)解这个关于x的不等式；(2)若xa时不等式成立，求a的取值范围解：(1)原不等式等价于(ax1)(x1)0.当a0时，由(x1)0，得x0时，不等式化为(x1)0，解得x；当a0时，不等式化为(x1)0；若1，即1a0
17、，则x1，即a1，则1x.综上所述，a1时，解集为；a1时，原不等式无解；1a0时，解集为；a0时，解集为x|x0时，解集为.(2)xa时不等式成立，0，即a11，即a的取值范围为a1.11某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x2002 200200，当且仅当x，即x400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)不获利设该单位每月获利为S元，则S100xy100x(x2200x80 000)x2300x80 000(x300)235 000，因为x400，600，所以S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损