1、茂名市普通高中 2017 届高三数学 3 月综合测试试题(四)一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在相应位置.1.在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以 100 后进行分析，得出新样本方差为 3，则估计总体的标准差为2.箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球，先摸出 1 只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出 1 只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_3.设 P 为曲线2:1C yxx 上一点,曲线C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 1,3,则点 P 纵坐标的取值范围是_4.若方程ln62xx的解为0 x，则满足0k
2、x的最大整数k 5.已知抛物线22ypx的准线与双曲线222xy的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为.6.A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点 B，连接 A、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为7.对一切实数 x，不等式01|2xax恒成立，则实数a 的取值范围是8.如果圆22()()4xaya上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是_9.已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为1F，2F，P 是准线上一点，且12PFPF，124PF PFab，则双曲线的离心率是10.在约束条件4200 xysyxyx下,当53 s时,目标函数y
3、xz23 的最大值的变化范围是11.已知平面上的向量 PA、PB 满足224PAPB,2AB，设向量2PCPAPB，则 PC 的最小值是.12.已知函数 56(4)462xaxf xa xx,数列 na满足 Nnnfan，且数列 na是单调递增数列，则实数a 的取值范围是_YEABCDA1B1C1D113.设函数xxxf3)(，若02时，(cos)(1)0f mfm 恒成立，则实数 m 的取值范围是14.对于任意实数 x，符号 x 表示 x 的整数部分，即 x 是不超过 x 的最大整数”。在实数轴（箭头向右）上 x 是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时 x 就是 x。这个函数 x
4、叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么243log4log3log2log1log33333=二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本题满分 14 分)已知向量),cos2,1(),cos,22sin3(xnxxm设函数.)(nmxf（I）求)(xf的最小正周期与单调递减区间；（II）在 ABC 中，cba,分别是角 A、B、C 的对边，若,1,4)(bAf ABC 的面积为 23，求 a 的值.16.(本题满分 14 分)在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，E 为 CC1 的中点求证：（1）AC1
5、平面 BDE；（2）A1E平面 BDE17.(本题满分 14 分)某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD的中点 P 处，已知 AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为 ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将 y 表示成 的函数关系式；设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短18(本题
6、满分 16 分)已知数列 na、nb 满足：1121,1,41nnnnnbaabba.(1)求1,234,b b b b;(2)求数列 nb 的通项公式；(3)设1223341.nnnSa aa aa aa a，求实数a 为何值时4nnaSb恒成立19.(本题满分 16 分)椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，离心率 e=22，椭圆上的点B C D A O P 到焦点的最短距离为 1-22,直线 l 与 y 轴交于点 P（0，m），与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且AP PB（1）求椭圆方程；（2）若OA OB 4OP，求 m 的取值范围20.(本题满分 16 分)已知函数xa
7、xxfln)(2(a 为实常数).(1)若2a，求证：函数)(xf在(1，+)上是增函数；(2)求函数)(xf在1，e上的最小值及相应的 x 值；(3)若存在,1 ex，使得xaxf)2()(成立，求实数 a 的取值范围.参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在相应位置.1.在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以 100 后进行分析，得出新样本方差为 3，则估计总体的标准差为【答案】31002.箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球，先摸出 1 只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出 1 只球，则摸到两只不同颜色
8、的球的概率为_【答案】12253.设 P 为曲线2:1C yxx 上一点,曲线C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 1,3,则点P 纵坐标的取值范围是_【答案】3,434.若方程ln62xx的解为0 x，则满足0kx的最大整数k【答案】25.已知抛物线22ypx的准线与双曲线222xy的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为.【答案】1,06.A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点 B，连接 A、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为【答案】237.对一切实数 x，不等式01|2xax恒成立，则实数a 的取值范围是【答案】,28.如果圆22()()4xaya上总存在两个点到原
9、点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是_【答案】322 3(2,)(,2)22229.已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为1F，2F，P 是准线上一点，且12PFPF，124PF PFab，则双曲线的离心率是【答案】3Y10.在约束条件4200 xysyxyx下,当53 s时,目标函数yxz23 的最大值的变化范围是【答案】8,711.已知平面上的向量 PA、PB 满足224PAPB,2AB，设向量2PCPAPB，则 PC 的最小值是.【答案】212.已知函数 56(4)462xaxf xa xx,数列 na满足 Nnnfan，且数列 na是单调递增数列，则实数a 的
10、取值范围是_【答案】4,813.设函数xxxf3)(，若02时，(cos)(1)0f mfm 恒成立，则实数 m 的取值范围是【答案】(，1)14.对于任意实数 x，符号 x 表示 x 的整数部分，即 x 是不超过 x 的最大整数”。在实数轴 R（箭头向右）上 x 是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时 x 就是 x。这个函数 x 叫做“取 整 函 数”，它 在 数 学 本 身 和 生 产 实 践 中 有 广 泛 的 应 用。那 么243log4log3log2log1log33333=【答案】857二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
11、15.(本题满分 14 分)已知向量),cos2,1(),cos,22sin3(xnxxm设函数.)(nmxf（I）求)(xf的最小正周期与单调递减区间；（II）在 ABC 中，cba,分别是角 A、B、C 的对边，若,1,4)(bAf ABC 的面积为 23，求 a 的值.解：（I）),cos2,1(),cos,22sin3(xnxxm2()3sin 222cos3sin 2cos23f xm nxxxxEABCDA1B1C1D13)62sin(2x4 分 22T5 分)(326)(2326222ZkkxkZkkxk令)(32,6)(Zkkkxf的单调减区间为7 分（II）由4)(Af得21
12、)62sin(43)62sin(2)(AAAf的内角为又ABCA656267626AA3 A10 分23sin211,33AbcbS ABC2c12 分32112214cos2222Abccba3a14 分16.(本题满分 14 分)在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，E 为 CC1 的中点求证：（1）AC1平面 BDE；（2）A1E平面 BDE（1）证明：连接 AC，设 ACBDO由条件得 ABCD 为正方形，故 O 为 AC 中点因为 E 为 CC1 中点，所以 OEAC1因为 OE平面 BDE，AC1/平面 BDE所以 AC1平面 BDE（2）连接 B1E设 ABa，
13、则在 BB1E 中，BEB1E 2a，BB12a所以 BE2B1E2BB12所以 B1EBE由正四棱柱得，A1B1平面 BB1C1C，所以 A1B1BE所以 BE平面 A1B1E所以 A1EBE同理 A1EDE所以 A1E平面 BDE17.(本题满分 14 分)某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD的中点 P 处，已知 AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为 ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO
14、=(rad)，将 y 表示成 的函数关系式；设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又 OP10 10tan，所以101010 10tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为20 10sin10cosy04若 OP=x(km)，则 OQ10 x，所以 OA=OB=222101020200 xxx所求函数关系式为2220200 010yxxxx（）选
15、择函数模型，2210coscos20 10sin10 2sin1coscossiny令y 0 得 sin 12，因为04，所以=6，当0,6时，0y，y 是 的减函数；当,6 4 时，0y，y 是 的增函数，所以当=6 时，min10 10 3y。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离 AB 边10 33km 处。18(本题满分 16 分)已知数列 na、nb 满足：1121,1,41nnnnnbaabba.B C D A O P(1)求1,234,b b b b;(2)求数列 nb 的通项公式；(3)设1223341.nnnSa aa aa aa a，求实数a 为何值时4
16、nnaSb恒成立解：（1)11(1)(1)(2)2nnnnnnnnbbbaabbb 1113,44ab234456,567bbb4 分（2）11112nnbb 12111111nnnnbbbb 数列11nb 是以4 为首项，1 为公差的等差数列6 分14(1)31nnnb 12133nnbnn 8 分(3)113nnabn 12231111114 55 6(3)(4)444(4)nnnnSa aa aa annnn22(1)(36)8443(3)(4)nnannananaSbnnnn10 分由条件可知2(1)(36)80anan 恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8f nanana1 时
17、，()380f nn 恒成立,a1 时，由二次函数的性质知不可能成立al 时，对称轴3231(1)02121aaa 13 分f(n)在(,1为单调递减函数2(1)(1)(36)8(1)(36)841 50fananaaa154a ab0），设 c0，c2a2b2，由条件知 a-c 22，ca 22，a1，bc 22，故 C 的方程为：y2x2121 5（2）由AP PB，OA OB 4OP14，3 或 O 点与 P 点重合OP=07当 O 点与 P 点重合OP=0 时，m=0当 3 时，直线 l 与 y 轴相交，则斜率存在。设 l 与椭圆 C 交点为 A（x1，y1），B（x2，y2）ykxm
18、2x2y21得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0（*）x1x22kmk22，x1x2m21k22 11 AP 3PBx13x2 x1x22x2x1x23x22消去 x2，得 3（x1x2）24x1x20，3（2kmk22）24m21k220整理得 4k2m22m2k220 13m214时，上式不成立；m214时，k222m24m21，因 3 k0 k222m24m210，1m12 或 12m2m22 成立，所以（*）成立即所求 m 的取值范围为（1，12）（12，1）01620.(本题满分 16 分)已知函数xaxxfln)(2(a 为实常
19、数).(1)若2a，求证：函数)(xf在(1，+)上是增函数；(2)求函数)(xf在1，e上的最小值及相应的 x 值；(3)若存在,1 ex，使得xaxf)2()(成立，求实数 a 的取值范围.（1）当2a时，xxxfln2)(2，当),1(x，0)1(2)(2xxxf，故函数)(xf在),1(上是增函数4 分（2）)0(2)(2xxaxxf，当,1 ex，2,2222eaaax若2a，)(xf 在,1 e 上非负（仅当2a，x=1 时，0)(xf），故函数)(xf在,1 e上是增函数，此时min)(xf1)1(f 6 分若222ae，当2ax时，0)(xf；当21ax时，0)(xf，此时)(
20、xf是减函数；当exa2时，0)(xf，此时)(xf是增函数故min)(xf)2(af2)2ln(2aaa若22ea，)(xf 在,1 e 上非正（仅当2e2a，x=e 时，0)(xf），故函数)(xf在,1 e 上是减函数，此时)()(minefxf2ea 8 分综上可知，当2a时，)(xf的最小值为 1，相应的 x 值为 1；当222ae时，)(xf的最小值为2)2ln(2aaa，相应的 x 值为2a；当22ea时，)(xf的最小值为2ea，相应的 x 值为e 10 分（3）不等式xaxf)2()(，可化为xxxxa2)ln(2,1 ex,xx1ln且等号不能同时取，所以xx ln，即0lnxx，因而xxxxaln22（,1 ex）12 分令xxxxxgln2)(2（,1 ex），又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，14 分当,1 ex时，1ln,01xx，0ln22xx，从而0)(xg（仅当 x=1 时取等号），所以)(xg在,1 e 上为增函数，故)(xg的最小值为1)1(g，所以 a 的取值范围是),1 16 分