1、安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期开学考试试题 理一选择题（每题5分，共12小题）1设集合Ay|y2x，xR，Bx|y，xR，则AB（）A1B（0，+）C（0，1）D（0，12f（x）在（）A（，1）（1，+）上是增函数B（，1）（1，+）上是减函数C（，1），（1，+）分别是增函数D（，1），（1，+）分别是减函数3能反映一组数据的离散程度的是（ ）.A众数B平均数C中位数D方差4甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）（A）（B）（C）（D）5如图，已知点 C 为OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值
2、为（ ）AB0CD 6若变量x，y满足约束条件，则z3xy的最小值是（）A7B9C1D57若，为互斥事件，则（ ）ABCD8如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A84，84B84，85C86，84D84，869从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为（ ）A B C. D10已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）AB1CD11若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）A在圆上B在圆外C在圆内D以上都有可能12已知函
3、数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）ABCD二填空题（每题5分，共20分）13一组样本数据x，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y212814已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5），y关于x的线性回归方程为x+0.35，据此可估计x7时，15从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的序号为至少有1个白球；都是白球至少有1个白球；至少有1个红球恰有1个白球；恰有2个白球至少有1个白球；都是红球16三棱柱各顶点都在一个球
4、面上，侧棱与底面垂直，则这个球的表面积为 三解答题（共6小题，计70分）17（10分）已知三内角，的对边分别为，点为边的中点，.（1）求；（2）求面积的最大值.18（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：年收入（万元）24466677810年饮食支出y（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，（参考数据：）19（12分）已知Sn为数列an的前n项和，且向量=（-4，n），
5、=（Sn，n+3）垂直（1）求数列an的通项公式；（2）数列前n项和为Tn，求证：20（12分）疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值；（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（3）求中位数的估计值21(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.22（12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购
6、进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若=19,求y与x的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易
7、损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？高二第一期开学考数学试卷一选择题（每题5分，共12小题）1设集合Ay|y2x，xR，Bx|y，xR，则AB（）A1B（0，+）C（0，1）D（0，1【解答】解：Ay|y0，Bx|x1；AB（0，1故选：D2f（x）在（）A（，1）（1，+）上是增函数B（，1）（1，+）上是减函数C（，1），（1，+）分别是增函数D（，1），（1，+）分别是减函数【解答】解：f（x）1，由函数y在x0，x0均为增函数，则将y的图象向右平移1个单位，可得y的图象，再向下平移1个单位，即可得到f（x）的图象，则有f（x）在
8、x1，x1上均为增函数，则有函数f（x）的增区间为（，1），（1，+）无减区间故选：C3能反映一组数据的离散程度的是（ ）.A众数B平均数C中位数D方差【答案】D4甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】甲不输的事件，包括两人下成和棋或甲获胜，且两个事件互斥，所以甲不输概率为选A.5如图，已知点 C 为OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（ ）AB0CD【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出的值.【详解】，所以.故选：A6若变量x，y满足约束条件，则z
9、3xy的最小值是（）A7B9C1D5【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，1）由解得A（2，1），由，解得B（1，1）z3xy的最小值为3（2）17故选：A715若，为互斥事件，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以8如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A84，84B84，85C86，84D84，86【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中
10、位数为84；众数为：84；故选：A9从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为（ ）A B C. D【答案】B【解析】成等差的基本事件有，故选B10已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）AB1CD【解答】解：满足条件的正方形ABCD如下图所示：其中正方形的面积S正方形4416；满足到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于2的平面区域如图中阴影部分所示则S阴影164，故该正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、D的距离均不小于1的概率是P1；故选：B11若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）A在圆上B在圆外C在圆内D
11、以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。12已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】，为三角形内角，则，当且仅当时取等号二填空题（每题5分，共20分）13一组样本数据x，4，5，6，y的平均数为5，标准差为4，则x2+y2128【解答】解：平均数为（x+4+5+6+y）5，即x+y10，方差为（x5）2+（45）2+（55）2+（65）2+（y5）216，所以（x5）2+（
12、y5）278，即x2+y210（x+y）28，所以x2+y228+10（x+y）28+1010128故答案为：12814已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5），y关于x的线性回归方程为x+0.35，据此可估计x7时，5.25【解答】解：由题意中心点为（4.5，3.5），代入回归方程为：x+0.35，可得3.54.5+0.35，解得0.7，所以：0.7x+0.35，x7时，0.77+0.355.25，故答案为：5.2515从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件
13、的序号为至少有1个白球；都是白球至少有1个白球；至少有1个红球恰有1个白球；恰有2个白球至少有1个白球；都是红球【解答】解：从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，在中，至少有1个白球和都是白球能同时发生，不是互斥事件，故错误；在中，至少有1个白球与至少有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误在中，恰有1个白球与恰有2个白球不能同时发生，是互斥事件，故正确；在中，至少有1个白球与都是红球不能同时发生，是互斥事件，故正确故选：16三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，则这个球的表面积为 【答案】【解析】试题分析：在中，则根据余弦定理求出，设与的外接圆的圆心分别为，半径分别为
14、，则，连接，线段的中点O为球心，连接，；三解答题（共6小题，计70分）17（10分）已知三内角，的对边分别为，点为边的中点，.（1）求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得：即： （2）为边的中点 ，又，即当且仅当时取等号（当且仅当时取等号）面积的最大值为18（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：年收入（万元）24466677810年饮食支出y（万元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；（2）若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出附：
15、回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，（参考数据：）【解答】解：（1）（2+4+4+6+6+6+7+7+8+10）6，（1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3）1.8y关于x的线性回归方程为；（2）在为中，取x9，得2.26若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出为2.26万元19（12分）已知Sn为数列an的前n项和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直（1）求数列an的通项公式；（2）数列前n项和为Tn，求证：【答案】（1）（2）见解析20（12分）疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗病毒某小区为了调查“宅”
16、家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值；（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（3）求中位数的估计值【解答】解：（1）由题意，得（0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003）101解得a0.03（2）估计这100位居民锻炼时间的平均值为：50.00510+150.01210+250.0310+350.03510+450.01510+550.0031030.2（分钟）（3）设中位数的估计值为x+30由（0.005+0.012+0.03）10+0.035x0.0
17、35（10x）+（0.015+0.003）10，得，所以中位数的估计值为21(12分)如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于，则为的中点，利用中位线的性质可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得出平面，由此可计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，并设点到平面的距离为，由可计算出点到平面的距离的值.【详解】（1）如图，连接交于，连接，则为的中点.又为上的中点，所以.又平面，平面，所以平面；（2）如图，取的中点，连
18、接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.同理可得平面，、平面，.又因为，所以平面，平面，则，所以，所以，又，设点到平面的距离为，由，得，所以，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算，同时也可以作出垂线，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22（12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若=19,求y与x的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值；（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【答案】（I）（II）19（III）19
