1、考点突破练4等差数列、等比数列一、选择题1.(2022福建三明模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2+a5=-14,S3=-39,则S10=()A.6B.10C.12D.202.(2022山东济宁一模)在等比数列an中,a1+a3=1,a6+a8=-32,则=()A.-8B.16C.32D.-323.(2022四川德阳三模)已知等比数列an的前n项和Sn=2n-a(a为常数),则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.4.(2022江苏扬州高三期末)在各项均为正数的等比数列an中,a1=,a2a4=9,记数列an的前n项积为Tn,Tn9,则n的最小值为()A.3B.4C.5D.65
2、.(2020全国理6)数列an中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.56.(2021北京6)中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=()A.64B.96C.128D.1607.(2022山西一模)已知数列an的前n项和Sn=2n2+n,将该数列排成一个数阵(如
3、图),其中第n行有2n-1个数,则该数阵第9行从左向右第8个数是()A.263B.1 052C.528D.1 0518.(2022广东茂名模拟)已知数列an满足3an-2an-1=an+1,且a1=0,a6=2 021,则a2=()A.B.C.D.9.(2022福建德化模拟)数列an的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法错误的是()A.an是递增数列B.a10=-12C.当n4时,an0D.当n=3或4时,Sn取得最大值10.(2022山东青岛二中模拟)已知数列an是等差数列,d为公差,Sn是其前n项和,且S4S7,则下列结论不正确的是()A.dS4C.a6=0D.S5和S6均为
4、Sn的最大值11.(2022福建福州模拟)在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人为第一轮传染,第一轮被传染的R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染,假设某种传染病的基本传染数R0=4,平均感染周期为7天,初始感染者为1人,则()A.第三轮被传染人数为16B.前三轮感染人数累计为80C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列D.感染人数累计达到1 000大约需要30天12.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,S3=a2+10a1,a4=3,则下列说法正确的是()A.a1=9B.an是递减数列C.为等
5、比数列D.log3an是等比数列二、填空题13.若a,b,-2这三个数经适当排序后可构成等差数列,也可经适当排序后构成等比数列,请写出满足题意的一组a,b的值.(答案不唯一)14.(2022山东潍坊一模)我国古人将一年分为24个节气,如图所示,相邻两个节气的日晷长变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中夏至到大雪的日晷长的和为尺.15.设等比数列an满足a1+a2=48,a4+a5=6,则log2(a1a2a3an)的最大值为.16.(2022湖南益阳一模)已知数列an中,a1=1,an+1=.若bn=,则数列bn的前n项
6、和Sn=.考点突破练4等差数列、等比数列1.B解析: 由a2+a5=2a1+5d=-14,S3=3a1+3d=-39,解得a1=-17,d=4,所以S10=10a1+45d=-170+454=10.2.D解析: 设等比数列an的公比为q,则a6+a8=(a1+a3)q5=1q5=-32,所以q5=-32,故=q5=-32.3.C解析: Sn=2n-a,a1=S1=2-a,a2=22-a-(2-a)=2,a3=23-a-(22-a)=4.又数列an为等比数列,2-a=1,即a=1.数列an是首项为1,公比为2的等比数列,数列是首项为1,公比为的等比数列,数列的前5项和为.4.C解析: 设等比数列
7、an的公比为q,由=a2a4=9得a3=3(负值舍去),于是得q2=9,而q0,解得q=3,因此an=3n-1=3n-2.Tn=a1a2a3an=3-1+0+1+(n-2)=,由Tn9得9,从而得2,而n0,解得n4,又nN*,所以n的最小值为5.5.C解析: am+n=aman,令m=1,又a1=2,an+1=a1an=2an,=2,an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+1=2k+11-2k+1=215-25.解得k=4.6.C解析: 由题意,五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列
8、,设公差为d,由a1=288,a5=96,可得d=-48,可得a3=288+(3-1)(-48)=192.又因为长与宽之比都相等,且b1=192,所以,所以b3=128.7.D解析: 数列an的前n项和为Sn=2n2+n,a1=S1=2+1=3,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-2(n-1)2+(n-1)=4n-1,当n=1时,上式成立,an=4n-1.将该数列按第n行有2n-1个数排成一个数阵,该数阵前8行有20+2+22+27=255项,该数阵第9行从左向右第8个数字为a263=4263-1=1 051.8.A解析: 由3an-2an-1=an+1可得2(an-an-1)=a
9、n+1-an,若an-an-1=0,则a6=a5=a1,与题中条件矛盾,故an-an-10,所以=2,即数列an+1-an是以a2-a1=a2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1-an=a22n-1,则a6-a1=a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+a6-a5=a220+a221+a222+a223+a224=31a2,则a2=.9.A解析: 因为Sn=-n2+7n,当n=1时,S1=a1=-12+7=6,当n2时,Sn-1=-(n-1)2+7(n-1),所以an=Sn-Sn-1=-n2+7n-(n-1)2+7(n-1)=-2n+8.当n=1时,a1=6符合上式,所以an=-2
10、n+8(nN*).所以an+1-an=-2(n+1)+8-(-2n+8)=-20,即an是递减数列,故A错误;a10=-210+8=-12,故B正确;令an=-2n+84,故C正确;Sn=-n2+7n=-,又nN*,所以当n=3或4时,Sn取得最大值12,故D正确.10.B解析: 由S40.由S5=S6,得a6=S6-S5=0,故C正确;对于A,d=a6-a5S7,得a7=S7-S60,S8-S4=a5+a6+a7+a8=2(a6+a7)=2a70,即S81 000,又平均感染周期为7天,所以感染人数累计达到1 000大约需要35天,故D错误.12.C解析: 设等比数列an的公比为q,则q0,
11、S3=a1+a1q+a1q2=a1q+10a1,即q2=9,则q=3.对于A,a1=,故A错误;对于B,对任意的nN*,an0,an+1=3anan,故数列an是递增数列,故B错误;对于C,Sn=,则Sn+,所以=3,故数列为等比数列,故C正确;对于D,log3an+1-log3an=log3=log33=1,故数列log3an不是等比数列,故D错误.13.a=1,b=4解析: a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列,可排为-2,a,b,则有-2+b=2a.a,b,-2这三个数经适当排序后可成等比数列,可排为a,-2,b,则有ab=(-2)2.解得故可以取a=1,b=4.14.84解析:
12、 依题意,冬至日晷长为13.5尺,记为a1=13.5,芒种日晷长为2.5尺,记为a12=2.5,因相邻两个节气的日晷长变化量相同,则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列an,nN*,n12,数列an的公差d=-1.因夏至与芒种相邻,且夏至日晷长最短,则夏至的日晷长为a12+d=1.5,又大雪与冬至相邻,且冬至日晷长最长,则大雪的日晷长为a1+d=12.5,显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列得等差数列,首项为1.5,末项为12.5,共12项,所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为12=84(尺).15.15解析: 因为a1+a2=48,所以由a4+a5=6,可得q3(a1+a2)=6q3=q=.由a1+a2=48,可得a1+a1=48a1=32,所以an=32=26-n,log2(a1a2a3an)=log2(25242326-n)=log2.因为=-,nN*,所以当n=5,6时,有最大值,最大值为15.16.-解析: 由an+1=,得an+1-2=+2.bn=,bn+1=4bn+2,则bn+1+=4.b1=-1,b1+=-0.=4.数列构成以-为首项,4为公比的等比数列.bn+=-4n-1,bn=-4n-1-.Sn=-=-=-.