1、第3章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021河南高二期末)设a=x2-2x+2,b=1-x,则实数a与b的大小关系为()A.abB.a=bC.a0恒成立,所以ab.故选A.2.不等式2+x-x20,即(x-2)(x+1)0,解得x2,所以不等式2+x-x20的解集为(-,-1)(2,+).故选A.3.(2021福建泉州高一期末)若不等式ax2+bx-10的解集是x-12x-13,则a=()A.-6B.-5C.65D.6答案A解析不等式ax2+bx-10的解集为x-12x-13,-1
2、2,-13为方程ax2+bx-1=0的两个根,根据根与系数的关系可得-12-13=-1a,解得a=-6.故选A.4.(2021安徽黄山高一期末)下列不等式正确的是()A.若ab,则a2b,则acbcC.若ab0,cd0,ef0,则acebdfD.若abc0,def0,则adbecf答案C解析对于A,若a=-3,b=2,则a2b2,错误;对于B,若c=0,则ac=bc,错误;对于C,若ab0,cd0,ef0,由不等式的基本性质可得acebdf,正确;对于D,若a=3,b=2,c=1,d=3,e=2,f=1,则ad=be=cf=1,错误.故选C.5.(2021福建漳州高一期末)若正数x,y满足2x
3、+y=1,则x+2y的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案D解析x+2y=2x+yx+2y=2+4xy+xy+24+24=8,当且仅当x=4,y=12时,等号成立.故x+2ymin=8.故选D.6.(2021云南高三期末)如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是()A.14B.12C.1D.2答案B解析由基本不等式可得x2+y22xy,所以2(x2+y2)x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y212,当且仅当x=y=12时,等号成立.因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为12.故选B.7.(2021湖北高三一模)已知正数a,b是关于x
4、的函数y=x2-(m2+4)x+m的两个零点,则1a+1b的最小值为()A.2B.22C.4D.42答案C解析由题意,正数a,b是关于x的方程x2-(m2+4)x+m=0的两根,可得a+b=m2+4,ab=m0,则1a+1b=a+bab=m+4m2m4m=4,当且仅当m=4m,即m=2时等号成立.经检验知当m=2时,方程x2-(m2+4)x+m=0有两个正实数解.所以1a+1b的最小值为4.故选C.8.(2020云南曲靖民族中学月考)已知不等式ax2+bx+c0的解集是x|x0,则不等式cx2+bx+a0的解集是()A.x1x1B.xx1C.x|xD.x|x答案A解析不等式ax2+bx+c0的
5、解集是x|x0,则,是方程ax2+bx+c=0的两根,且a0可化为cax2+bax+10,即x2-(+)x+10,可化为(x-1)(x-1)0,所以110.因此,不等式cx2+bx+a0的解集是x1x1.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.若1a1b0,则下列说法正确的是()A.abC.a2b2D.abb2答案BCD解析因为1a1b0,故a0,b0,ba,即ba0,故B正确,A错误.对于C,a2-b2=(a-b)(a+b),而a+b0,故a2-b20,即a2b2,故C正确.对于
6、D,ab-b2=b(a-b)0,故abb,则下列结论正确的是()A.a+b2abB.a2+b22abC.|a+b|4答案BC解析对于A,若a,b均为负数,则不等式显然不成立,故A错误;对于B,显然成立,故B正确;对于C,在a2+b22ab两边同时加上a2+b2,得2(a2+b2)(a+b)2,则|a+b|2(a2+b2)成立,故C正确;对于D,取a=2,b=-1,则(a+b)1a+1b=(2-1)12+1-1=-124不成立,故D错误.故选BC.11.(2020广东高一期中)已知y=ax2+bx+c,不等式ax2+bx+c0的解集是x|1x0B.a+b+c=0C.关于x的不等式cx2+bx+a
7、0的解集是x13x0,则a(m+2)2+b(m+2)+c0的解集是x|1x3,则a0变为cax2+bax+10,即3x2-4x+10,解不等式得x的取值范围为x13x0,则1m3,故3m+25,则a(m+2)2+b(m+2)+c0,y0,且2x+y=2,若mxym-1x+2y对任意的x0,y0恒成立,则实数m的可能取值为()A.12B.98C.107D.2答案ACD解析x0,y0,mxym-1x+2ymm-1x+2yxy=1y+2x,即mm-11y+2xmin,1y+2x=121y+2x(2x+y)=125+2xy+2yx125+22xy2yx=92,当且仅当2xy=2yx,即x=y=23时,
8、等号成立.即mm-192,即mm-1-920,即9-7m2(m-1)0,解得m97或m0的解集为.答案(-,0)(1,+)解析由x-1x0,解得x1,即原不等式的解集为(-,0)(1,+).14.(2020天津,14)已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.答案4解析ab=1,b=1a.12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.令1a+a=t0,则原式=t2+8t2t28t=24=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.15.(2021上海黄浦格致中学高一期末)定义区间a,b(a0,y0,且x+4y=40.(
9、1)求xy的最大值;(2)求1x+1y的最小值.解(1)因为x0,y0,所以40=x+4y24xy=4xy(当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立).所以xy100,因此xy的最大值为100.(2)因为x+4y=40,即140(x+4y)=1,所以1x+1y=140(x+4y)1x+1y=1405+4yx+xy1405+24yxxy=940当且仅当x=2y,即x=403,y=203时,等号成立.所以1x+1y的最小值为940.19.(12分)(2021云南昆明高二期末)已知函数y=x+1x-1(x1).(1)解不等式(x-1)x+1x-13;(2)当x1时,求x+1x-1的最小值.解
10、(1)由(x-1)x+1x-13,得x2-x-20.又x1,所以解得x2或x1时,x-10,y=x+1x-1=x-1+1x-1+12+1=3,当且仅当x-1=1x-1,即x=2或x=0(舍)时,等号成立.所以x+1x-1的最小值是3.20.(12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为(2n2+10n)万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)该船捕捞几年开始盈利?(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)(2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出;当盈利总额达到最大值时,以8万
11、元的价格卖出.哪一种方案较为合算?请说明理由.解(1)设捕捞n年的盈利为y万元,则y=50n-(2n2+10n)-98=-2n2+40n-98.由y0,得n2-20n+490,解得10-51n0的解集为(-1,1),求实数a,b的值;(2)若b=-a-1,且存在xR,使ax2+(b-2)x+34成立,求实数a的取值范围.解(1)由题意可知,方程ax2+(b-2)x+3=0的两根是-1,1,所以-b-2a=0,3a=-1,解得a=-3,b=2.(2)存在xR,使ax2+(b-2)x-10成立,将b=-a-1代入上式可得ax2-(a+3)x-10成立.当a0时,显然存在xR使得上式成立;当a0,即
12、a2+10a+90,解得a-9或-1a0.综上可知,a的取值范围是(-,-9)(-1,+).22.(12分)(2021云南曲靖第二中学高一期末)设y=x2-(a-1)x+a-2(aR).(1)若不等式x2-(a-1)x+a-2-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式x2-(a-1)x+a-20.解(1)由题意,不等式x2-(a-1)x+a-2-2对于一切实数x恒成立,等价于x2-(a-1)x+a0对于一切实数x恒成立.所以=(a-1)2-4a0,解得3-22a3+22.故实数a的取值范围为3-22,3+22.(2)不等式x2-(a-1)x+a-20,即x-(a-2)(x-1)1,即a3时,不等式的解集为x|1xa-2;当a-2=1,即a=3时,不等式的解集为;当a-21,即a3时,不等式的解集为x|a-2x1.综上所述,当a3时,不等式的解集为x|a-2x3时,不等式的解集为x|1xa-2.
