1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一 两角和的余弦公式思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案 用 代换 cos()cos cos sin sin 中的 便可得到.梳理公式cos()cos cos sin sin 简记符号C()使用条件，都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”.知识点二 两角和与差的正弦公式思考 1
2、 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案 sin()cos2cos2 cos2 cos sin2 sin sin cos cos sin.思考 2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案 用 代换，即可得 sin()sin cos cos sin.梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S()S()公式形式sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin 记忆口诀：“正余余正，符号相同”.类型一 给角求值例 1(1)化简求值：sin(x27)cos(18x)sin(63x)sin(x18).解(1)原式sin(x27)cos(1
3、8x)cos(x27)sin(x18)sin(x27)cos(18x)cos(x27)sin(18x)sin(x27)(18x)sin 45 22.(2)sin 50sin 20cos 30cos 20.答案 12解析 原式sin2030sin 20cos 30 cos 20sin 20cos 30cos 20sin 30sin 20cos 30cos 20cos 20sin 30cos 20sin 3012.反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达
4、到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练 1 计算：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x).解(1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 3012.(2)原式sin(54x)(36x)sin 901.类型二 给值求值例 2 已知 sin34 513，cos4 35，且 0434，求 cos().解 0434，34 34，240.又sin34 513，cos4 35，cos34 1213，sin4
5、45.cos()sin2sin34 4sin34 cos4 cos34 sin4 513351213 45 3365.反思与感悟(1)给值(式)求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练 2 已知234，cos()1213，sin()35，求 cos 2 与 cos 2 的值.解 234，04，32.sin()1cos2112132 513，co
6、s()1sin2135245.cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()45121335 5133365，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()45121335 5136365.类型三 辅助角公式命题角度 1 用辅助角公式化简例 3 将下列各式写成 Asin(x)的形式：(1)3sin xcos x；(2)24 sin(4x)64 cos(4x).解(1)3sin xcos x2(32 sin x12cos x)2(cos 6sin xsin 6cos x)2sin(x6).(2)原式 22 12sin(4x)32 cos(4x)22 sin 6
7、sin(4x)cos 6cos(4x)22 cos(4x6)22 cos(12x)22 sin(x512).反思与感悟 一般地对于 asin bcos 形式的代数式，可以提取 a2b2，化为 Asin(x)的形式，公式 asin bcos a2b2sin()(或 asin bcos a2b2cos()称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.跟踪训练 3 sin 12 3cos 12.答案 2解析 原式212sin 12 32 cos 12.方法一 原式2cos3sin 12sin 3cos 122sin 12cos 3cos 12sin32sin123 2sin4 2.方法二
8、原式2sin 6sin 12cos 6cos 122cos6cos 12sin 6sin 122cos6 12 2cos 4 2.命题角度 2 求函数值域最值例 4 已知函数 f(x)2sinx6 2cos x，x2，求函数 f(x)的值域.解 f(x)2sinx6 2cos x 3sin xcos x2sinx6，因为2x，所以3x656.所以12sinx6 1.所以函数 f(x)的值域为1，2.反思与感悟(1)用辅助角公式化成一角一函数，即 asin xbcos x a2b2sin(x)的形式.(2)根据三角函数的单调性求其值域.跟踪训练 4(1)当函数 ysin x 3cos x(0 x
9、2)取得最大值时，x；(2)函数 f(x)sin xcosx6 的值域为.答案(1)56 (2)3，3解析(1)y2sin(x3)，0 x2，3x353，当 x32，即 x56 时，ymax2.(2)f(x)sin x 32 cos x12sin x32sin x 32 cos x 3sin(x6)，f(x)3，3.1.计算 2cos 12 6sin 12的值是()A.2B.2C.2 2D.22答案 B解析 2cos 12 6sin 122 2(12cos 12 32 sin 12)2 2sin 6cos 12cos 6sin 122 2sin6 12 2 2sin 42.2.在ABC 中，已
10、知 cos A 513，sin B35，则 cos C 等于()A.1665B.1665C.1665或1665D.5665或1665答案 B解析 cos A 51312cos 60，60A90，sin B35120，AB180，矛盾，B 为锐角，且 A 为锐角，sin A1213，cos B45.cos Ccos(AB)cos(AB)，cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B)51345121335 1665.3.sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A.32B.32C.12D.12答案 D解析 sin 20cos 10cos 160sin 10s
11、in 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.4.已知锐角、满足 sin 2 55，cos 1010，则.答案 34解析，为锐角，sin 2 55，cos 1010，cos 55，sin 3 1010.cos()cos cos sin sin 55 1010 2 55 3 1010 22.又0，34.5.化简：sin43x cos33x cos63x sin43x.解 原式sin43x cos33x sin33x cos43x sin43x 33xsin43 sin 4cos 3cos 4sin 3 22 12 22 32 2 64.1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑
12、关系C()以代换C()诱导公式S()以代换S().(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式 C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式 S()，S()可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式 C()，C()，S()，且公式 sin()sin cos cos sin，角，的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些
13、常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如 1sin2cos2，1sin 90，12cos 60，32 sin 60等，再如：0，12，22，32 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.课时作业一、选择题1.已知 2，sin4 35，则 sin 等于()A.210B.7 210C.210或7 210D.7 210答案 B解析 由 2，得34 454，所以 cos4 1sin241 35245.所以 sin sin 4 4sin4 cos 4cos4 sin 4 22 35457 210，故选 B.2.sin 10cos 20sin 80sin 20等
14、于()A.32B.12C.12D.32答案 C解析 sin 10cos 20sin 80sin 20sin 10cos 20cos 10sin 20sin(1020)sin 3012，故选 C.3.在ABC 中，A4，cos B 1010，则 sin C 等于()A.2 55B.2 55C.55D.55答案 A解析 sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B 22(cos B 1cos2B)22 1010 3 10102 55.4.已知 02，又 sin 35，cos()45，则 sin 等于()A.0B.0 或2425C.2425D.0 或2425答案 C
15、解析 02，sin 35，cos()45，cos 45，sin()35或35.sin sin()sin()cos cos()sin 2425或 0.2，sin 2425.5.在ABC 中，若 sin A2sin Bcos C，则ABC 是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 D解析 A180(BC)，sin Asin(BC)2sin Bcos C.又sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，sin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)0，则 BC，故ABC 为等腰三角形.6.已知 cos6 sin 4 35，则 sin76 的值为()A.2
16、35B.2 35C.45D.45答案 C解析 cos6 sin 4 35，cos cos 6sin sin 6sin 4 35，32 cos 32sin 4 35，即12cos 32 sin 45，sin6 45.sin76 sin6 45.二、填空题7.sin 15sin 75的值是.答案 62解析 sin 15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos 30 62.8.已知 cos(3)sin(3)，则 tan.答案 19.sin 27cos 45sin 18cos 27sin 45sin 18.答案 1解析 原式sin4518cos 45sin 18cos451
17、8sin 45sin 18sin 45cos 18cos 45sin 18cos 45sin 18cos 45cos 18sin 45sin 18sin 45sin 18tan 451.10.已知 A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，若ACBC1，则 sin(4).答案 23解析 AC(cos 3，sin)，BC(cos，sin 3)，ACBC(cos 3)cos sin(sin 3)cos23cos sin23sin 13(sin cos)13 2(22 sin 22 cos)13 2sin(4)1，sin(4)23.三、解答题11.已知 sin 55，sin()1010，均为
18、锐角，求 的值.解 为锐角，sin 55，cos 2 55.20，所以 02.所以 sin 1cos22 55，cos()1sin23 1010，cos(2)cos()cos cos()sin sin()55 3 1010 2 55 1010 210.(2)cos cos()cos cos()sin sin()55 3 1010 2 55 1010 22.又因为(0，2)，所以 4.四、探究与拓展14.定义运算a bc dadbc.若 cos 17，sin sin cos cos 3 314，02，则.答案 3解析 由题意，得 sin cos cos sin 3 314，sin()3 314.
19、02，cos()1 27196 1314.又由 cos 17，得 sin 4 37.cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12，3.15.已知函数 f(x)Asinx3，xR，且 f512 3 22.(1)求 A 的值；(2)若 f()f()3，0，2，求 f(6).解(1)由 f512 Asin5123Asin 34 A 22 3 22，可得 A3.(2)f()f()3，则 3sin3 3sin3 3，即 312sin 32 cos 332 cos 12sin 3，故 sin 33.因为 0，2，所以 cos 63，所以 f(6)3sin633sin2 3cos 6.