1、 微积分基本定理预习课本 P5154，思考并完成下列问题(1)微积分基本定理的内容是什么？(2)被积函数 f(x)的原函数是否是唯一的？新知初探1微积分基本定理如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么abf(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式为了方便，我们常常把 F(b)F(a)记为 F(x)ba，即abf(x)dxF(x)baF(b)F(a)点睛 对微积分基本定理的理解(1)微积分基本定理表明，计算定积分abf(x)dx 的关键是找到满足 F(x)f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运
2、算法则从反方向上求出F(x)(2)牛顿莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做 f(x)的原函数)的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下则(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图，则abf(x)dxS 上(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图，则abf(x)dxS 下(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图，则abf(x)dxS 上S 下，若 S 上S 下，则abf(x)dx0.
3、小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()答案：(1)(2)(3)2下列积分值等于 1 的是()A.01xdx B.01(x1)dxC.011dxD.0112dx答案：C3计算：0sin xdx()A2 B0 C2 D1答案：C定积分的求法典例(1)定积分01(2xex)dx 的值为()Ae2 Be1Ce De1(2)f(x)12x，0 x1，x2，1x2，求02f
4、(x)dx.解析(1)01(2xex)dx(x2ex)10(1e)(0e0)e，因此选 C.答案：C(2)解：02f(x)dx01f(x)dx12f(x)dx01(12x)dx12x2dx(xx2)1013x3211113(81)133.1由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数 F(x)，再计算定积分，具体步骤如下第一步：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；第二步：计算函数的增量 F(b)F(a)2分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定
5、积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算 活学活用计算下列定积分：(1)01(x32x)dx；(2)(xcos x)dx；(3)121xx1dx.解：(1)01(x32x)dx14x4x21034.(2)(xcos x)dx12x2sin x 28 1.(3)f(x)1xx11x 1x1.取 F(x)ln xln(x1)ln xx1，则 F(x)1x 1x1，所以121xx1dx121x 1x1 dxln xx121ln43.定积分的综合应用典例(1)已知 x(0,1，f(x)01(12x2t)dt，则 f(x)的值域是_(2)已知01(3ax1
6、)(xb)dx0，a，bR，试求 ab 的取值范围解析(1)01(12x2t)dt(12x)tt2 1022x，即 f(x)2x2，因为 x(0,1，所以 f(1)f(x)f(0)，即 0f(x)2，所以函数 f(x)的值域是0,2)答案：0,2)(2)解：01(3ax1)(xb)dx013ax2(3ab1)xbdxax3123ab1x2bx 10a12(3ab1)b0，即 3ab2(ab)10.法一：由于(ab)2a2b22ab4ab，所以3ab1224ab，即 9(ab)210ab10，得(ab1)(9ab1)0，解得 ab19或 ab1.所以 ab 的取值范围是，19 1，)法二：设 a
7、bt，得 ab3t12，故 a，b 为方程 x23t12xt0 的两个实数根，所以 3t1244t0，整理，得 9t210t10，即(t1)(9t1)0，解得 t19或 t1.所以 ab 的取值范围是，19 1，)含有参数的定积分问题的处理办法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念 活学活用已知 f(x)xa(12t4a)dt，F(a)01f(x)3a2dx，求函数 F(a)的最小值解：f(x)x
8、a(12t4a)dt(6t24at)xa6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，F(a)01f(x)3a2dx01(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x)10a22a2(a1)211，当 a1 时，F(a)最小值1.层级一 学业水平达标1下列各式中，正确的是()A.abF(x)dxF(b)F(a)B.abF(x)dxF(a)F(b)C.abF(x)dxF(b)F(a)D.abF(x)dxF(a)F(b)解析：选 C 由牛顿莱布尼茨公式知，C 正确2.0(cos x1)dx 等于()A1 B0C1 D解析：选 D 0(cos x1)dx(sin xx)0sin 0.3已知积分01
9、(kx1)dxk，则实数 k()A2 B2C1 D1解析：选 A 因为01(kx1)dxk，所以12kx2x 10k.所以12k1k，所以 k2.4.aa|56x|dx2 016，则正数 a 的最大值为()A6 B56C36 D2 016解析：选 A aa|56x|dx20a56xdx2562 x2a056a22 016，故 a236，即 00.则11f(x)dx_.解析：11f(x)dx11x2dx01(cos x1)dx13x301(sin xx)1013031313(sin 11)(sin 00)sin 123.答案：sin 1238已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1003
10、(12x)dx，则 a5a6_.解析：S1003(12x)dx(xx2)303912.因为an是等差数列，所以 S1010a5a625(a5a6)12，所以 a5a6125.答案：1259已知 f(x)ax2bxc(a0)，且 f(1)2，f(0)0，01f(x)dx2，求 a，b，c的值解：由 f(1)2 得 abc2，又 f(x)2axb，f(0)b0,而01f(x)dx01(ax2bxc)dx13ax312bx2cx 1013a12bc，13a12bc2,由式得 a6，b0，c4.法二：设 f(x)|2x3|32x|4x，3x32，6，32x32，4x，32x3.如图，所求积分等于阴影部
11、分面积，即33(|2x3|32x|)dxS212(612)323645.层级二 应试能力达标1函数 F(x)0 xcos tdt 的导数是()AF(x)cos x BF(x)sin xCF(x)cos xDF(x)sin x解析：选 A F(x)0 xcos tdtsin tx0sin xsin 0sin x.所以 F(x)cos x，故应选 A.2若函数 f(x)xmnx 的导函数是 f(x)2x1，则12f(x)dx()A.56B.12C.23D.16解析：选 A f(x)xmnx 的导函数是 f(x)2x1，f(x)x2x，12f(x)dx12(x2x)dx13x312x22156.3若
12、1a2x1x dx3ln 2，则 a 的值是()A6 B4C3 D2解析：选 D 1a2x1x dx(x2ln x)a1(a2ln a)(1ln 1)(a21)ln a3ln 2.a213，a1，a2，a2.4若 f(x)x2201f(x)dx，则01f(x)dx()A1 B13C.13D1解析：选 B 设01f(x)dxc，则 c01(x22c)dx13x32cx 10132c，解得 c13.5 函 数 y x2 与 y kx(k0)的 图 象 所 围 成 的 阴 影 部 分 的 面 积 为 92，则 k _.解析：由ykx，yx2，解得x0，y0或xk，yk2.由题意得，0k(kxx2)d
13、x12kx213x3k012k313k316k392，k3.答案：36.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分的概率为_解析：长方形的面积为 S13，S 阴013x2dxx3101，则 PS阴S113.答案：137.已知 S1 为直线 x0，y4t2 及 y4x2 所围成图形的面积，S2 为直线 x2，y4t2 及 y4x2 所围成图形的面积(t 为常数)(1)若 t 2时，求 S2.(2)若 t(0,2)，求 S1S2 的最小值解：(1)当 t 2时，S2(2(4x2)dx13x32x43(21)(2)t(0,2)，S10t(4x2)(4t2)dxt2x13
14、x3t023t3，S2t2(4t2)(4x2)dx13x3t2x 2t832t223t3，所以 SS1S243t32t283，S4t24t4t(t1)，令 S0 得 t0(舍去)或 t1，当 0t1 时，S0，S 单调递减，当 1t0，S 单调递增，所以当 t1 时，Smin2.8.如图，直线 ykx 分抛物线 yxx2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求 k的值解：抛物线 yxx2 与 x 轴两交点的横坐标 x10，x21，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积S01(xx2)dxx22 x33 10121316.抛物线 yxx2 与直线 ykx 两交点的横坐标为x10，x21k，所以S2(xx2kx)dx1k2 x2x3316(1k)3，又知 S16，所以(1k)312.于是 k13 1213 42.