1、第36讲 圆锥曲线的离心率问题 一选择题（共27小题）1（2021春滁州期末）如图，设椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是ABCD【解答】解：如图，连接，椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，直线平分线段于，为的中位线，且，解得椭圆的离心率故选：2（2021常德期末）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：椭圆的左顶点为，右焦点为，若点为曲线上一点，左焦点且以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，可得，可得，所以，所以，解得，解得，故选：
2、3（2021浙江期中）如图，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，设，由对称性可知：，由椭圆的定义可知：，由，则，则中，由，则，整理得：，在中，将代入解得椭圆的离心率故选：4（2021衢州期末）已知，是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是ABCD【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，设，由对称性可知：，由椭圆的定义可知：，由，则，则中，由，则，整理得：，在中，将，代入解得椭圆的离心率，故选：5（2021湖南校级模拟）如图所示，是双曲线上的三个点，经过坐标原点，经过双曲线的右焦点，若，且，则该双
3、曲线的离心率是ABCD3【解答】解：设双曲线的左焦点为，则四边形是矩形，由，可得又，在直角三角形中，解得故选：6（2021让胡路区校级一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以坐标原点为圆心，以为直径的圆交双曲线右支上一点，则双曲线的离心率的取值范围为ABCD【解答】解：设，则，故选：7（2021运城模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：如图：双曲线的左，右焦点分别为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，可知是正三角形，所以，代入双曲线方程可得：又，可得，解得故选：8（2021天心区校级月考）
4、已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，且双曲线的离心率为2则ABCD【解答】解：由双曲线的定义知，即，在中，由余弦定理知，故选：9（2021河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点若，且，则双曲线的离心率为ABC2D【解答】解：设，则，同理，在，中，即，得，有，在，中，由，即，得，即离心率，故选：10（2021双流区校级期中）已知椭圆的右焦点为，满足，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为ABCD【解答】解：因为，所以，即，所以，由已知得的最大值为，
5、最小值为，则，又由得，所以，所以，所以，所以的取值范围为，故选：11（2021滨州期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为ABCD【解答】解：如图，连接，过点的直线与圆相切于点，依题意可得，双曲线的渐近线方程为故选：12（2021福建模拟）已知双曲线的左、右焦点坐标分别为，过作圆的切线交的右支于点若，则的离心率为ABCD【解答】解：设切点为，连接，过作，垂足为，由，且为的中位线，可得，即有，则，即有，由双曲线的定义可得，则，即，又，解得：（舍或故选：13（2021广州一模）已知为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为
6、，点是双曲线上位于第一象限内的点过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为ABCD2【解答】解：延长交与，由为的角平分线，所以为的中点，连接，则为的中位线，所以，而因为，而所以整理可得，即，解得或1，再由双曲线的离心率大于1，可得，故选：14（2021榆林四模）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右焦点分别为、且，则双曲线的离心率为AB 或3CD 或4【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，可得，即有直线的斜率为，由直线与双曲线：双曲线的一条渐近线交于点，可得，可得，即有，化为，由可得，解得或，由，可得，即，可得舍去故选：15（2021新疆模拟）已知，是双曲线的两个焦点，过
7、的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为ABCD【解答】解：由题意可得，即，连接，在直角三角形中，可得，又，可得，则，又在直角三角形中，所以，由为的中位线，可得，由双曲线的定义可得，即，由解得，所以双曲线的方程为故选：16（2021西青区期末）已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线、的离心率相同若是双曲线一条渐近线上的点，且为原点），若，则双曲线的方程为ABCD【解答】解：双曲线的离心率为，设，双曲线一条渐近线方程为，可得，即有，由的面积为16，可得，即，又，且，解得，即有双曲线的方程为，故选：17（2021临汾模拟）已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别
8、为， 是双曲线 一条渐近线上的点，且，若的面积为 16，且双曲线，的离心率相同，则双曲线的实轴长为A4B8C16D32【解答】解：双曲线的离心率为，设，双曲线一条渐近线方程为，可得，即有，由的面积为16，可得，即，又，且，解得，即有双曲线的实轴长为16故选：18（2021河北区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆离心率的取值范围为ABCD【解答】解：因为直线过左焦点，若，即焦点三角形为直角三角形，且，根据焦点三角形的性质，当为短轴顶点（设为时，有最大值，所以若有，则，所以，即，也即，所以离心率，又因为椭圆离心率，所以，故选：19（2021昌邑区校级期中）已
9、知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则椭圆的离心率等于ABCD【解答】解：，是直角三角形，由椭圆的定义可得，故选：20（2021湖北模拟）设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，为其共同的左、右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为ABCD【解答】解：依题意有，即，解得，故选：21（2021春浙江月考）已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若不是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是AB，C，D，【解答】解：因为不是锐角三角形，所以为钝角，因为双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，所以，所以，因为为右焦点，设其坐标为，所以，所，所以
10、，所以，所以（舍去）或，所以双曲线的离心率为，故选：22（2021浙江模拟）已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是A，BC，D，【解答】解：点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，不妨在第一象限，代入双曲线方程可得：即：，可得，可得，直线，可知，所以，故选：23（2021重庆期末）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：，设，则，根据双曲线的定义，得，即，解得，即，中，在三角形中，可得，因此，该双曲线的离心率故选：24（2021辽宁模拟）已知双曲线的右顶点为，
11、右焦点为，是双曲线的一条渐近线上两个不同点，满足，都垂直于轴，过作，垂足为，若四边形的面积是三角形面积的4倍，则双曲线的离心率AB2C3D【解答】解：由双曲线的方程可得，渐近线方程为，由题意可得，都在渐近线上，可得，矩形的面积为，三角形的面积为，由题意可得，即为，所以故选：25（2021春浙江月考）设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：如图，因为，且，所以，可得，故过作，在直角三角形中，由，可得即可得，故选：26（2021包河区校级模拟）已知双曲线的离心率，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交另一条渐近线于，则A2BCD【解答】解：
12、由题意双曲线的离心率为：，可得，可得，所以，渐近线方程为：，如图：，则，所以，所以，故选：27设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：取椭圆的左焦点两点，关于原点对称可得直线过原点，如图所示：由，可得，即为矩形，可得，当在上顶点时，最小，当，最大，所以离心率，即，故选：二填空题（共18小题）28（2021春昌江区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上一点，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为 【解答】解：设，设，设，则，解得，即，即，得，解得，即，在双曲线上，而，可得：或5，由于，可得，故答案为：29（2021
13、浙江模拟）如图，椭圆的离心率为，是的右焦点，点是上第一象限内任意一点，若，则的取值范围是，【解答】解：设直线的方程为，代入椭圆方程可得，可得，由，可得，即为，化为，可得，对恒成立，由，可得，即为，可得，即，故答案为：，30（2021武侯区校级模拟）如图，椭圆的离心率为，是的右焦点，点是上第一象限内任意一点且，若，则离心率的取值范围是，【解答】解：设，因为，所以，所以点的坐标为，又因为，所以点的坐标为，代入椭圆方程可得：，化简可得：，又因为，则化简可得：恒成立，因为，所以，所以，令，则函数在，上单调递增，所以，则，所以解得，故答案为：31（2021杭州校级模拟）如图，椭圆的离心率，分别是椭圆的左
14、焦点和右点顶点，是椭圆上任意一点，若的最大值是12，则椭圆方程为【解答】解：，设，则，当时，有最大值为，则，所求椭圆方程为故答案为：32（2021春恩施州期末）设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，设则双曲线离心率是【解答】解：点关于原点的对称点为，是等边三角形，代入双曲线，可得，故答案为：33（2021章贡区校级三模）设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设，且，则双曲线离心率的取值范围是，【解答】解：设左焦点为，令，则，点关于原点的对称点为，故答案为：，34（2021永康市模拟）已知椭圆，若存在过点且相互垂直的直线，使得，与椭圆均无公共点
15、，则该椭圆离心率的取值范围是【解答】解：椭圆，显然，中一条斜率不存在和另一条斜率为0，两直线与椭圆相交，可设，即，联立椭圆方程可得，由直线和椭圆无交点，可得，化为，解得，由两直线垂直的条件，可将换为，即有，化为，解得或，由题意可得，化为，由于时，可得；同样，解得，则故答案为：35（2021河南月考）椭圆上存在第一象限的点，使得过点且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是，【解答】解：因为过点且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，所以，化简可得，解得，因为点在第一象限，所以，所以，则，所以，即椭圆的离心率的范围为，故答案为：，36已知椭圆的两个焦点为，为坐标原
16、点，为轴上一点，连接，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，连接，且，四边形的面积为，则椭圆的离心率为【解答】解：由过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，则，由，则的面积，的面积，直角梯形的面积，四边形的面积为，椭圆的离心率，故答案为：37（2021春确山县校级期中）已知椭圆，双曲线，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为【解答】解：设椭圆与双曲线的渐近线相交于、两点，以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于，两点（如图）与该渐近线的两交点将线段三等分，由得，由，得即，即，即，即 故答案为：38（2021春濠江区校级期中）已知为椭圆在第一象限上一点，关
17、于原点的对称点为，关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为【解答】解：设，设，由题意可得，因为，设，则，所以，即，的坐标代入，所以，所以，即，而因为，所以，所以可得，由，三点共线，所以，即，即，将其代入中，又，所以故答案为：39（2021渝中区校级期中）如图，已知为椭圆上的点，点、分别在直线与上，点为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆的离心率为【解答】解：设，则直线的方程为，直线方程为，联立方程组，解得，联立方程组，解得，则，又点在椭圆上，则有，又为定值，则，即，得故答案为：40（2021岳麓区校级模拟）已知为椭圆上任意一点，点，
18、分别在直线与上，且，若为定值，则椭圆的离心率为【解答】解：设，则直线的方程为，直线的方程为联立方程组，解得，联立方程组，解得，在椭圆上，为定值，故答案为：41（2021道里区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上的一点，射线平分交轴于点，过原点的直线平行于直线交于点，若，则双曲线的离心率为【解答】解：设双曲线的右顶点为，考察特殊情形，当点时，射线直线，此时，即，特别地，当与重合时，由，即有，由离心率公式，故答案为：42（2021春3月份月考）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为【解答】解：如图，连接在直角三角形中，所以，
19、所以，在中，所以，化简可得：，所以故答案为：43（2021春浙江期末）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是，【解答】解：，是的角平分线，则，由，得，由，可得，由，椭圆离心率的范围是，故答案为：，44（2021春洛阳期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，直线交轴于点，的内切圆切边于点，若，则双曲线的离心率为2【解答】解：双曲线的焦距为4，的内切圆在边上的切点为，根据切线长定理可得，即，则，双曲线的离心率是故答案为：245（2021浙江月考）已知点在圆上，点在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为，则的最大值等于【解答】解：圆的圆心，半径为，设，设，可得，由可得的最大值为，1处或顶点处，由处取得2，不符题意的取得最大值4，处取得最大值4，可得，解得，则，则椭圆的离心率的最大值为；可得离心率取得最大值时，椭圆方程为，右焦点，左焦点，则，连接，可得，则的最大值为，故答案为：，
