1、辽宁省铁岭市调兵山市第一高级中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】，即可得到答案.【详解】故选：C【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.2.已知点在第三象限，则角在第几象限（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由条件可得，然后可得角在第二象限.【详解】因为点在第三象限，所以所以角在第二象限故选：B【点睛】本题考查的是三角函数在每个象限的符号，较简单
2、.3.已知角的终边与单位圆的交于点，则()A B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先求出点的坐标，再利用三角函数的定义得出的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可详解：点在单位圆上，则由三角函数的定义可得得则 点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出的值是解题的关键4.已知函数，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将逐一代入计算即可判断.【详解】解： 函数，故，A错误；，B错误；， C正确；，D错误；故选：C.【点睛】本题考查诱导公式应用，属于基础题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
3、析】，然后用诱导公式即可求解.【详解】因为所以故选：A【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，找出角的关系是解题的关键，较简单.6.已知，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据反正弦函数的定义可得的值.【详解】因为且，故，故选：C.【点睛】本题考查反正弦函数的定义，注意的反函数为，本题属于容易题.7.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】此题转化为（x+）minm2+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案【详解】不等式
4、x+ m2+3m有解，（x+）minm23m，x0，y0，且，x+（x+）（）4，当且仅当，即x2，y8时取“”，（x+）min4，故m2+3m4，即（m-1）（m+4）0，解得m4或m1，实数m的取值范围是（，4）（1，+）故选C【点睛】本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解8.函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到（ ）A. 横坐标不变，纵坐标变为原来的B. 纵坐标变
5、为原来的3倍，横坐标变为原来的C. 横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍D. 纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的3倍【答案】B【解析】分析】根据函数与的关系，是要经过两种变换得来，其中振幅变换影响的是的值，是周期变换，也就是图像上每个点的横坐标要进行伸缩变换即可得到答案.【详解】解：将图像上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，则函数变为，在此基础上，再将这个函数图像上的每个点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，就得到.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，关键是要弄清这几种变换是怎么进行的，属于中档题.9.如图中，平分线交ABC的外接圆于点，设，则向量（）A. B. C. D. 【
6、答案】C【解析】【分析】根据中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以【详解】解：设圆的半径为，在中，所以，平分线交的外接圆于点，所以，则根据圆的性质，又因为在中，所以四边形为菱形，所以故选C【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力属于中档题10.方程的根的个数是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】分别作函数图象，结合图象可得交点个数，即得结果.【详解】分别作函数图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程的根的个数是7故选：B【点睛】本题考查利用图象求方程根的个数，考查数形结合思想方法，属基
7、础题.11.设函数f(x)Asin(x)(A0，0，)的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则( )A. f(x)的图象过点(0，)B. f(x)在上是减函数C. f(x)的一个对称中心是D. f(x)的一个对称中心是【答案】C【解析】分析：根据周期求出，根据函数图象关于直线x=对称求出，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确详解：由题意可得=，=2，可得f（x）=Asin（2x+）再由函数图象关于直线x=对称，故f（）=Asin（+）=A，故可取=故函数f（x）=Asin（2x+）令2k+2x+2k+，kz，求得 k+xk+，kz，故函数的减区间为k+，k+，kz，故选项B不
8、正确由于A不确定，故选项A不正确 令2x+=k，kz，可得 x=，kz，故函数的对称中心为 （，0），kz，故选项C正确选项D不正确故选C点睛：本题主要考查由函数y=Asin（x+ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，考查了函数y=Asin（ x + ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将 x +看做一个整体，地位等同于sinx中的x12.对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由下确界定义，的最小值是，由余弦函数性质可得【详解】由题
9、意，的最小值是，又，由，得，时，所以故选：A【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值可通过解不等式确定参数的范围二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数的值域是_.【答案】R【解析】【分析】根据正切函数性质得结果.【详解】因为的值域为R，所以函数的值域是R故答案为：R【点睛】本题考查正切函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.14.一个扇形的中心角为3弧度，其周长为10，则该扇形的面积为_【答案】6【解析】【分析】利用弧长公式以及扇形周长公式即可解出弧长和半径，再利用扇形面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，所以，答案为6.【点
10、睛】主要考查弧长公式、扇形的周长公式以及面积公式，属于基础题.15.在矩形ABCD中，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为_【答案】2【解析】【分析】以A为原点，AB，AD为，轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设点坐标为，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解【详解】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，故答案为2【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，向量的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，属于中档题.16.已知函数在区间内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：由题意得，函数在
11、区间内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，令，则题目转化为复合函数在区间内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，如图所示，函数在区间内至少取得两次最小值，则，函数在区间内至多取得三次最大值，则，解得.考点：三角函数的周期性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的周期性及其应用、正弦函数的图象与性质等知识点，其中正确理解函数在区间内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，利用换元法，转化为复合函数在区间内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，结合函数的图象，列出不等关系式，即可求解结果，着重考查了转化与化归思想及数形结合思想的应用，属于中档试题.三、解答题：共70分，解答应写出
12、文字说明，证明过程或演算步骤17.已知，求下列代数式的值（）；（）【答案】（1）（2）【解析】（）（） 【点睛】本题为弦化切问题，属于同角三角函数关系问题，分子和分母为一次式时，可将分子与分母同除以，化切后代入求值，若是二次时，可将分子和分母同时除以，化切后代入求值，若分子为弦的二次而分母是常数或分子为常数而分母为常数时，可利用1的妙用，把常数用形式表达，再将分子和分母同时除以，化切后代入求值.18.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1
13、）求图中x的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【答案】（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数（3）满意度评分值在50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率【详解】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为m，则，解得.（3）满意度
14、评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A则总基本事件个数为 10个，A包含的基本事件个数为 3个，利用古典概型概率公式可知.【点睛】本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19.已知关于x的方程的两根为，.求：（1）；（2）m的值；（3）方程的两根及此时的值【答案】（1）；（2）；（3）或；或【解析】【分析】（1）由韦达定理可得，然后将所求式子用诱导公式化简即可；（2）将两边平方即可；（3）分别求出、，然后结合的范围即可得到答案.【详解】由韦达定理可得
15、，.（1）原式.（2）由，两边平方可得：，.（3）由可解方程：，得两根和.或，或.【点睛】本题考查的是三角函数的同角基本关系及诱导公式的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.20.函数的一段图象如图所示（1）求的解析式；（2）把的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】(1)由函数的图像分别求得的值即可确定函数的解析式；(2)首先写出函数平移之后的解析式，然后结合正弦函数的性质和诱导公式确定需要平移的最短长度即可.【详解】（1）由最高点和最低点的纵坐标可得：，函数的最小正周期：，则，由过得：，令可得：，.（2）由为偶函数知
16、即，取可得.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的确定，三角函数的图形平移，由三角函数的奇偶性确定参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数（其中为常数）（1）求的单调区间；（2）若时，的最大值为4，求a的值；（3）求出使取得最大值时x的取值集合.【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦函数的单调性，求得的单调区间（2）利用正弦函数的定义域和值域，结合题意求得的值（3）由相位的终边落在轴正半轴上求得使取最大值时的取值集合【详解】解：（1）由，解得.函数的单调增区间为.由，解得，.函数单调减区间为.（2），的最大值为，.（3）当
17、取最大值时，.当取最大值时，的取值集合是.【点睛】本题考查正弦函数的单调性，考查了与正弦函数有关的复合函数最值的求法，属于基础题22.已知函数 （）.（1）若，求函数的值域；（2）若方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值即可；（2）通过函数的零点与方程根的关系，分离变量，利用函数的最值求解即可.【详解】解：（1），（）设，得，（1）当时，所，所以函数的值域为；（2）方程有解等价于函数在上有零点，也即在上有解，而函数在上单调递减，故函数在上的值域为，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查换元法求函数值域，考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力的应用，是中档题.
