1、2022年江苏高三二轮复习数学微专题-直线与圆锥曲线：证明类1、如图，已知椭圆 C : + = 1 (a b 0 ) ：经过点 P（1, ) ，离心率 e = (1) 求椭圆 C 的标准方程；(2)设 AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，直线 AB 与直线 l ：x = 4 相交于点M ， 记PA ， PB ， PM的斜率分别为k1 ， k2 ， k3 ，求证： k1 ， k3 ， k2 成等差数列2、已知 F1 (-c, 0), F2 (c, 0) 为双曲线 C : x2 - = 1(b 0) 的左、右焦点，过点F2 作垂直于x 轴的直线，并在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M
2、，且角MF1F2 = 30。(1) 求双曲线 C 的方程；(2)过圆 O : x2 + y2 = b2 上任意一点Q(x0 , y0 ) 作圆 O 的切线 l ，交双曲线 C 于 A, B 两 个不同的点， AB 的中点为 N ，证明： | AB |= 2 | ON | 3.已知椭圆 C : + = 1 (a b 0 ) ：右焦点点 F(1,0 )，且经过点A（-2,0） (1) 求 C 的方程；(2) 点 P 、Q 分别在 C 和直线 x = 4 上，OQ/AP ，M 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与直 线QF 的交点在某定曲线上4、如图，已知曲线 C1 : y = ( x 0 ) 及
3、曲线 C2 : y = ( x 0 ) ， C1 上的点P1 的 横坐标为 a1 ( 0 a1 )，从 C1 上的点Pn ( n N* ) 作直线平行于 x 轴，交曲线 C2 于Qn 点，再从 C2 上的点 Qn ( n N* ) 作直线平行于 y 轴，交曲线 C1 于Pn+1 点，点Pn( n = 1, 2, 3, . . . ) 的横坐标构成数列an ；(1) 求曲线 C1 和曲线 C2 的交点坐标；(2) 试求 an+1 与 an 之间的关系； 2 (3) 证明： a2n 一1 1 a2n ；5、过双曲线 x2 = 1的右支上的一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A 、B 两点，其中
4、P 是 AB 的中点；(1) 求双曲线的渐近线方程；(2) 当 P 坐标为 (x0 , 2) 时，求直线l 的方程；(3) 求证： | OA | . | OB | 是一个定值；6、已知椭圆+ = 1 的右焦点是抛物线 : y2 = 2px 的焦点，直线 l 与 相交于不同的 两点 A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) .(1) 求 的方程；(2) 若直线 l 经过点P(2, 0) ，求 OAB 的面积的最小值 ( O 为坐标原点)；(3) 已知点 C(1, 2) ，直线 l 经过点 Q(5, 2) ，D 为线段 AB 的中点，求证：| AB |= 2 | CD | .7 已知椭圆
5、 : + y2 = 1的右焦点为 F，直线 x = t (t ( , )与该椭圆交于点 A、B (点 A 位于x 轴上方) ， x 轴上一点 C (2,0) ，直线 AF 与直线 BC 交于点 P.(1) 当 t = 1时，求线段 AF 的长；(2) 求证：点 P 在椭圆 上；(3) 求证： S PAC .8 、对于直线 l 与抛物线 : x2 = 4y ，若l 与 有且只有一个公共点且 l 与 的对称轴不平行 (或重合) ，则称 l 与 相切，直线 l 叫做抛物线 的切线.(1) 已知 P(x0 , y0 ) 是抛物线上一点，求证：过点 P 的 的切线l 的斜率k = ；(2) 已知M(x0
6、 , y0 ) 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为 A(x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) ，求证： x1 、 x0 、 x2 成等差数列；(3) 如图所示，D(m, n) 、E(s, t) 是抛物线 上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的 的切线分别是 l1 、l2 ，直线 l1 、l2 交于点 G(a,b) ，且与 y 轴分别交于点D1 、E1 ，设x1 、 x2 为方程 x2 ax + b = 0 ( a,b R ) 的两个实根， maxc, d 表示实数 c 、 d 中较大的值， 求证： “点 G 在线段DD1 上”的充要条件是“ max| x1 |
7、, | x2 | = ”.9 、已知椭圆 : + = 1 (a b 0 ) ，B1 , B2 分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1 是椭圆的 左焦点， P 是椭圆上异于点B1 , B2 的点，若 B1 F1 B2 是边长为 4 的等边三角形.(1) 写出椭圆的标准方程；(2) 当直线 PB1 的一个方向向量是 (1, 1)时，求以 PB1 为直径的圆的标准方程；(3) 设点 R 满足： RB1 PB1 , RB2 PB2 ,求证： PB1 B2 与 RB1 B2 的面积之比为定值.10 、设椭圆 : + y2 = 1 ，点 F 为其右焦点，过点F 的直线与椭圆 相交于点P, Q .(1) 当点
8、P 在椭圆 上运动时，求线段 FP 的中点M 的轨迹方程；(2) 如图 1 ，点 R 的坐标为 (2, 0) ，若点 S 是点 P 关于 x 轴的对称点，求证：点 Q, S, R 共线； ( 3 ) 如 图 2 ， 点 T 是直 线 l : x = 2 上 的任 意 一 点 ， 设 直线 PT, FT, QT 的斜 率分 别为 kPT , kFT , kQT ，求证： kPT , kFT , kQT 成等差数列.yPFOR x SQyPT FOxQ参考答案：1 、(1) 由题意，点 P1, ) 在椭圆 + = 1上得，可得 + = 1 又由 e =0.5 ，所以 2c=a 由联立且 c 2 =
9、 a 2 - b 2 ，可得 c2 = 1 ， a2 = 4 ， b2 = 3 ，故椭圆 C 的标准方程为+ = 1 (2) 由 (1) 知，椭圆的方程为+ = 1 ，可得椭圆右焦点坐标 F(1, 0)，显然直线 AB 斜率存在，设 AB 的斜率为 k ，则直线 AB 的方程为 y = k (x - 1) ，整理得(4k2 + 3)x2 - 8k2 x + 4 (k2 - 3) = 0 ， 设 A(x1 , y1 ) ， B (x2 , y2 ) ，则有x1 +x2 = ， x1x2 = ，由直线 AB 的方程为 y = k (x - 1) ，令 x = 4 ，可得y = 3k ，即M (4,
10、 3k ) ，从而k1 = ， k2 = ， k = k - ，又因为 A, F, B 共线，则有k = kAF = kBF ，即有 = = k ，所以k1 + k2 = + = + - + )|= 2k (x1 x2 )+ 1 ，3 x + x - 2 将 x1 + x2 = ,x1x2 = ，k1 + k2 = k 一 1 ，又由 k3 = k 一 ，所以k1 + k2 = 2k3 ，即k1 ， k3 ， k2 成等差数列2 、解：(1) 双曲线 C 的方程为： x2 一 = 1(2) 3 、(1) 依题意知 A2, 0 为椭圆 C 的左顶点，故 a 2 ，又F 1, 0 为 C 的右焦点
11、，所以 a2 b2 1 于是b2 3 ， b .所以 C 的方程为 1 4 、解：(1) 曲线 C1 和曲线 C2 的交点坐标是 , ；(2) 设Pn (an , yPn ), Qn (xQn , yQn ) ，由已知 yPn ，(3) 解法一：因为 an 0 ，由 an+1 = ， n 2 n 2可得 a +1 一 1 与 a 一 1 异号， 0 a1 ， a1 一 0 ， a2n一1 一 0 ，即 a2n一1 4 8 分 当 m = 0 ，即直线l垂直 x 轴时， OAB 的面积取到最小值，最小值为4 10 分(3) (前同解法 1) AB = y1 - y2 = 线段 AB 的中点D 的
12、坐标为(2m2 + 2m+ 5, 2m)所以AB = 2 CD 16 分7 、解、(1) t = -1 ，代入椭圆方程得到故 AF = = .(2) 计算得到 A(t, ) ， B(t, )，代入方程得到： y2 = (x - 1)2 ，化简得到+ y2 = 1 ，故点 P 在椭圆T 上. (3) 设点 A(x1 , y1 ) 、 P (x2 , y2 ) ，设直线PA 的方程为x = my + 1 ， 联立 得 (m2 + 2)y2 + 2my - 1 = 0 ， 由韦达定理得 y1 + y2 = - ， y1y2 = - 代入计算等号成立.8 、解：(1) 证明： 由题意知， l 的斜率必然存在，设l 的方程为 y y0 k(x x0 ) 2 分代入抛物线方程，得： x2 kx (kx0 y0 ) 0由题意，得： k2 kx0 y0 0 ，又 y0 ，所以 (k )2 0 ，所以 k .4 分(2) 证明： 所以方程 x2 ax b 0 的两个根是x1 ， x2 .2 分9 、解：(1) (2) (3) 4. 评注：本题属于中档题10 、解：(1) 中点M 的轨迹方程(2x-1)2 + 8y2 = 2 .(2) 证：联立直线方程组容易证明点 Q, S, R 共线.(3) 联立直线方程组容易证明 kPT , kFT , kQT 成等差数列.评注：本题属于中档题