1、高三摸底考试(附中版)理科数学试题(这是边文，请据需要手工删加)炎德英才大联考湖南师大附中2018届高三摸底考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)已知集合A，B，则A(B)(A)x|0x1 (B)x|1x2(C)x|1x0 (D)x|0x1(2)在复平面内，复数z所对应的点为，则(D)(A)1 (B) (C) (D)(3)记等差数列的前n项和为Sn，若S520，a819，则S10(C)(A)23 (B)105 (C)115 (D)230(4)如图，在边长为1的正方形OABC
2、中随机取一点 ，则此点恰好取自阴影部分的概率为(A)(A) (B)(C) (D)(5)对于下列四个命题P1：x0(0，1)，logx0logx0；P2：x0(0，)，；P3：x(0，)，logx； P4：x，logx.其中的真命题是(B)(A)P1，P3 (B)P1，P4(C)P2，P3 (D)P2，P4(6)函数f(x)sin x(0)的图象向右平移个单位得到函数yg(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为(C)(A)1 (B) (C)2 (D)10(7)某几何体的三视图如下图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为(D)(A)(19) cm2
3、 (B)(224) cm2(C)(1364) cm2 (D)(1064) cm2(8)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为(D)(A)2101 (B)210(C)310210 (D)310(9)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线相交于M，N两点，若3，则|MN|(A)(A) (B)(C)11 (D)10(10)设等比数列的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11，
4、a9a1010，1成立的最大自然数n的值为(C)(A)9 (B)10(C)18 (D)19(11)已知函数f(x)x32xex，其中e为自然对数的底数，若不等式f(3a2)f(2a1)f(0)恒成立，则实数a的取值范围为(B)(A) (B)(C) (D)【解析】易知函数f(x)为奇函数，又因为f(x)3x22exex3x20，所以函数f(x)为增函数，原不等式转化为：f(3a2)f(2a1)3a22a10，解得：a1，所以答案选B.(12)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的取值范围为(C)(A)(B) (C)(D)【解析】以A为
5、原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立直角坐标系设AB1，P(cos ，sin )，则(1，1)，(cos ，sin )，由题意得解得.又sin 1，所以(sin 1)11，.设y，则y0.所以y在上递增所以：，选C.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)若(ax)5的展开式中x4项的系数为80，则实数a_2_(14)已知实数x，y满足约束条件则2xy的取值范围为_1，6_(15)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|2|PF2|，且MF2N120，则
6、双曲线的离心率为_【解析】由题意，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a，所以|PF1|4a，|PF2|2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又MF2N120，可得F1PF2120，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c216a24a224a2acos 120，即有4c220a28a2，即c27a2，可得ca，即e.(16)已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，且ABAC5，BC8，AD底面ABC，若G为ABC的重心，直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为_【解析】由题意可知，AG2，AD1，cosBAC，sinBAC，ABC外接圆的直径
7、为2r，设球O的半径为R，R.球O的表面积为，故答案为.三、解答题：本题共6个小题，满分70分(17)(本小题满分10分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2cos B.()求角C的大小；()若ABC的面积为Sc，求ab的最小值【解析】()由2cos B得，2，即a2b2c2ab，则cos C，故C.()由ABC的面积为Scabsin Cab，得c2ab，将其代入a2b2c2ab得，a2b24a2b2ab，则4a2b2aba2b22ab，所以ab，当且仅当ab，c时，ab取最小值.(18)(本小题满分12分)如图，几何体PABCD中，底面ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三
8、角形，且CDAB，DAB90，CDDAAB1，PB.()求证：面PAD面ABCD；()求二面角APBC的平面角的余弦值【解析】()由于PA1，AB3，PB，则PB2PA2AB2，则BAPA，又DAB90，则BADA，故BA面PAD，又BA面ABCD，则面PAD面ABCD.()取O为AD中点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.取E为PA中点，易知为面PAB的法向量；再令n(x，y，1)为面PBC的法向量，由于(1，2，0)，由得解得x，y，则n，而显然二面角APBC为锐二面角(直接由CH与DE平行且相等知点H在PAB的内部)，故所求余弦值为.(19)(本小题满分12分)近几年来我国电子商务行业
9、发展迅猛，2016年元旦期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次()完成商品和服务评价的22列联表，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？()若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X.(i)求对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示)；(ii)求X的数学期望和方差参考数据及公式
10、如下： P(K2k) 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(K2，其中nabcd)【解析】()由题意可得关于商品和服务评价的22列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200得K211.11110.828，可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关()(i)每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，XB(5，0.4)P(X0)0.65；P(X1)C0.40.64；P
11、(X2)C0.420.63；P(X3)C0.430.62；P(X4)C0.440.6；P(X5)0.45，X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.65 C0.40.64 C0.420.63 C0.430.62 C0.440.6 0.45(ii)由于XB，则EX50.42，DX50.40.61.2.(20)(本小题满分12分)已知等差数列满足：a24，a52a320.()求的通项公式；()若数列满足：bn(1)nann(nN*)，求的前n项和Sn.【解析】()令等差数列的公差为d，由a24，a52a320，得解得a12，d2，故的通项公式为an2n(nN*)()由于bn(1)nann
12、(nN*)，若n为偶数，结合anan12，得Sn(a1a2)(a3a4)(an1an)(12n)2；若n为奇数，则SnSn1bn2nn.(21)(本小题满分12分)已知A(2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为2.()求椭圆C的方程及离心率；()直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF恒相切【解析】()由题意可设椭圆C的方程为1 (ab0)，F(c，0)由题意知解得b，c1.故椭圆C的方程为1，离心率为.()证明：由题意可设直线AP的方程为yk(x2)(k0)则点D坐标为
13、(2, 4k)，BD中点E的坐标为(2, 2k)由得(34k2)x216k2x16k2120.设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0.所以x0，y0k(x02). 因为点F坐标为(1，0)，当k时，点P的坐标为，直线PFx轴，点D的坐标为(2，2)此时以BD为直径的圆(x2)2(y1)21与直线PF相切当k时，则直线PF的斜率kPF.所以直线PF的方程为y(x1)点E到直线PF的距离d2|k|.又因为|BD|4|k|，所以d|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF恒相切(22)(本小题满分12分)设函数f(x)aln x(a1)x.()
14、若f(x)存在最大值M，且M0，求实数a的取值范围；()令a，g(x)xf(x)x2x，求证：对任意的0b1，g(x)总存在最小值m，且m0，解得：a0.()当a时，g(x)xf(x)x2xxln xx2x.g(x)(ln xbx1)，由于0b1，则g(1)0，并且g(x)在(0，)上单调递增，故存在唯一的x0(1，e)，使得g(x0)0，从而，当x(0，x0)时，g(x)0，即g(x)在(x0，)上单调递增故函数g(x)存在最小值mg(x0)，结合g(x0)0即ln x01bx0，得mg(x0)x0(1bx0)xx0xx0(1x0)0.综上得，对任意的0b1，g(x)总存在最小值m，且m0.