1、第4章幂函数、指数函数和对数函数4.4函数与方程4.4.1方程的根与函数的零点课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021天津和平期末)函数f(x)=ln x-的零点位于区间()A.B.(1,e)C.(e,e2)D.(e2,e3)答案C解析函数f(x)=ln x-在定义域上是增函数,并且是连续函数,f(e)=1-0,f(e)f(e2)0,所以函数的零点位于(e,e2)上.故选C.2.(2021江西赣州高一期末)若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(kZ),则k=()A.1B.2C.3D.4答案A解析因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-10
2、,所以函数的零点在区间(1,2)内.又因为函数的零点在区间(k,k+1)(kZ)内,所以k=1,故选A.3.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x0时,符合题意;令1+3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.4.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个答案B解析作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个公共点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.5.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)0,f(2)0,则下列
3、说法正确的是()A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点答案AC解析因为f(0)0,f(2)0,所以f(0)f(1)0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0x11x22,则实数k的取值范围是.答案解析因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0x11x20,且f(1)=-4k0,所以0k.故实数k的取值范围为.7.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对
4、任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.解令x2-mx+a-m=0,因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,即=(-m)2-4(a-m)0,即a+m对任意的实数m恒成立.+m=(m+2)2-1-1,a-1.实数a的取值范围是(-,-1.关键能力提升练8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1上,则m的取值范围为()A.(-4,0)B.(-,-4)(0,+)C.(-,-40,+)D.-4,0)答案D解析由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,又由函数f(x)在区间(0,1上存在零点,则满
5、足解得-4m0时,-1=0,解得x=1.所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.10.(2021河北唐山期末)已知函数f(x)=log3x+3x,g(x)=3x+3x,h(x)=x3+3x的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系为()A.x2x3x1B.x1x2x3C.x2x1x3D.x3x20恒成立,故g(x)的零点小于0,即x20;因为h(x)=x3+3x在(-,+)上递增,当x=0时,h(0)=0,故x3=0.故x2x3x1.故选A.11.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:x123456y123.5621.45
6、-7.8211.45-53.76-128.88则下列说法正确的是()A.函数y=f(x)在区间1,6上有3个零点B.函数y=f(x)在区间1,6上至少有3个零点C.函数y=f(x)在区间1,6上至多有3个零点D.函数y=f(x)在区间1,2上无零点答案B解析由题中表格可知,f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,但函数y=f(x)在1,2上也有可能存在一个或多个零点.同理,在5,6上也如此.12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且,是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,的大小关系可能是()A.abB.abC.abD.ab答案C解析,是函数f(x)的两个零点,f(
7、)=f()=0.又f(a)=f(b)=-20,则g(x)零点的个数可能为()A.4B.3C.2D.1答案BCD解析函数g(x)=b-f(x),且b0,则g(x)零点的个数即函数y=b(b0)与函数y=f(x)的图象在R上的交点个数,在平面直角坐标系中画出函数y=b(b0)和函数y=f(x)的图象如图所示:由图象可知,函数y=b(b0)和函数y=f(x)的图象可能有1个,2个或3个交点.故选BCD.14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是.答案abc解析画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2
8、的图象,如图所示.观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知ab0,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=,均满足条件.当a0时,ea0,ea+11,f(a)=1无解.故a=.(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.当x0时,f(x)单调递增,10时,f(x)在0,上单调递减,在,+上单调递增,f=-.故当1m2时,方程f(x)-m=0恰有三个解,即实数m的取值范围是(1,2).学科素养创新练17.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;(2)若函数的两个零点分别是和,求2+2的取值范围.解(1)-1和-3是函数f(x)的两个零点,-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.则解得k=-2.(2)由题意知和是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,则2+2在区间内的取值范围为.故2+2的取值范围为.
