1、第23讲证明数列不等式 一解答题（共47小题）1（2021浙江月考）设等差数列的前为，已知，（1）求数列的通项公式（2）记数列的前项和为，求证：2（2021春江油市校级期中）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且，均为常数）的图象上（1）求的值；（2）当时，记，求数列的前项和（3）由（2），是否存在最小的整数，使得对于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由3（2021春兰山区校级月考）等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上（1）求的值；（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立4数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上（1
2、）求证：是等比数列；（2）当时，记，证明：数列的前项和5（2021临沂期中）等比数列的前项和为，已知对任意，点均在函数为常数）的图象上（1）求的值；（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小6已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图象上；又，且，对任意都成立，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：；，7，等比数列的前项和为，点，均在函数上（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由8已知，求证：9（2021嘉兴模拟）设数列的前项和为，已知，成等差数列，且，（
3、）求数列的通项公式；（）记，证明：，10（2021春秀山县校级月考）设函数，（1）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；（2）设，证明：为自然对数的底数）11（2021春阳江校级月考）设数列满足，2，3，（1）求，；（2）猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（3）设，数列的前项和为，求证：12（2012秋济源校级期中）设数列满足，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：13（2007崇文区一模）已知数列中，数列满足（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，证明14（2021春绍兴期中）已知正项数列满足：，为数列的前项和求证：对任意正整数，有；设数列的前项和为
4、，求证：对任意，总存在正整数，使得时，15（2021邯郸一模）已知正项数列的前项和满足：，且（）求的通项公式；（）设数列满足：且，试比较与的大小，并证明你的结论16（2021安徽三模）已知正项数列的前项和为，且求，；求数列的通项公式；若数列满足，求证：17（2021春历下区校级期中）（1）已知，比较和的大小并给出解答过程；（2）证明：对任意的，不等式成立18（2021盐城三模）（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：19（2021春枣庄校级月考）（1）已知，都是正数，且，用分析法证明；（2）已知数列的通项公式为，利用（1）的结论证明如下等式：20（2021杭州期中）
5、已知数列的前项和满足，且（）求数列的通项公式；（）设，证明：21（2021沙坪坝区校级一模）已知数列的前项之积满足条件：为首项为2的等差数列；（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为求证：对任意正整数，有22已知数列中，为的前项和，（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：23（2021宾阳县校级期中）已知公差不为0的等差数列满足：且，成等比数列（1）求数列的通项公式和前项和；（2）证明不等式且24已知函数，为常数）（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；（2）当时，证明不等式在，上恒成立；（3）证明：，（参考数据：25（2021衡水校级模拟）已知函数（1）求函数在
6、点，处的切线方程；（2）记为的从小到大的第个极值点，证明：不等式26（2012洛阳模拟）已知函数（）当时，讨论的单调性；（）当时，对于任意的，且，证明：不等式27证明不等式：28（2021春辛集市校级月考）已知求函数的单调区间；（）设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；（）证明不等式：29（2021大庆一模）已知函数（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；（2）在（1）中，取最小值时，设函数若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明不等式：且30（2021春荔湾区校级月考）已知数列的前项和为，当时，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）若数列的前项和为
7、，求证：31（2021春淮安期末）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有（1）求数列与数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：当时，32（2009秋沙坪坝区校级月考）表示不超过的最大整数，正项数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）已知数列的前项和为，求证：当时，有33（2021黄冈模拟）已知数列满足，首项为；（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：；（3）设数列满足，其中为一个给定的正整数，求证：当时，恒有34（2021桃城区校级模拟）设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，（1）求，与；（2）若，求证：35（2021
8、柯桥区期末）设等差数列的前项和为，数列的前项和为，满足，（）求数列、的通项公式；（）记，证明：36（2021芜湖二模）已知数列的前项和为，且满足各项为正数的数列中，对于一切，有，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：37（2021温州期末）已知数列的前项和为，满足，（）求的通项公式；（）设为数列的前项和，求证：对任意，都有38（2021温州三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数，是和的等差中项（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；（2）设，为前项和，证明：39（2021中原区校级月考）已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，将的底数与指数互换得到，设数列的前项
9、和为，求证：40（2021浙江开学）已知数列的前项积为，且对一切均有（）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（）若数列的前项和为，求证：41（2021台州模拟）已知数列，的前项和分别为，且（）求数列，的通项公式；（）求证：42（2021春浙江月考）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，证明：43（2021浙江模拟）已知数列的前项之积为，即，且，（）求数列，的通项公式；（）设数列的前项和为，求证：对一切，均有44已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标
10、原点，设第个三角形的边长为（1）求（1），（2），并猜想（不要求证明）；（2）令，记为数列中落在区间，内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列满足：，数列满足：，求证：45（2021山东模拟）在，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答已知数列的前项和为，满足_，_；又知正项等差数列满足，且，成等比数列（1）求和的通项公式；（2）证明：46（2021闵行区期末）已知数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由47（2021春资阳期末）已知数列中，且对任意，有（1）求的通项公式；（2）已知，且满足，求，；（3）若（其中对任意恒成立，求的最大值
