1、课时作业55最值、范围、证明问题1已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以k
2、GAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切2(2017湖北黄冈一模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：y21的两个焦点，椭圆C2：y2经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k.(1)求证：kk为定值；(2)求|AB|CD|的最大值解：(1)证明：因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(1,0)，F2(1,0)而点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，.设点P的坐标是
3、(x0，y0)，直线PF1和PF2的斜率分别是k，k(k0，k0)，kk又点P是椭圆C2上的点，故y，联立两式可得kk，即kk为定值(2)直线PF1的方程可表示为yk(x1)(k0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组由方程组得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.同理可求得|CD|，则|AB|CD|4，当且仅当k时等号成立故|AB|CD|的最大值等于.3已知以A为圆心的圆(x2)2y264上有一个动点M，B(2,0)，线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过A点作两条相互垂直的
4、直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|FG|的取值范围解：(1)连接PB，依题意得|PB|PM|，所以|PB|PA|AM|8，所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a4，c2，则b2.所以轨迹E的方程是1.(2)当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|FG|6814；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为yk(x2)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，联立整理得(34k2)x216k2x16k2480，x1x2，x1x2，|DE|，同理可得|FG|，|DE|FG|，设tk21，则t1，所以|DE|FG|，当t1时，易证y在(1
5、,2)上递增，在(2，)上递减，所以0b0)与抛物线C2：x22py(p0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一坐标是(，2)的交点(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；(2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求的取值范围解：(1)抛物线C2的准线方程是y2，所以2，p4，所以抛物线C2的方程是x28y.由题意知椭圆C1：1(ab0)的焦点是(0，2)，(0,2)，所以c2,2a4，所以a2，所以b2，所以椭圆C1的方程是1.(2)设点P(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y
6、4)，抛物线方程可以化为yx2，得yx，所以直线AP的方程为yy1x1(xx1)，所以2y1x1t2y1，即y1tx12，同理，直线BP的方程为y2tx22，所以直线AB的方程为ytx2，将直线AB的方程代入椭圆C1的方程得，(t232)x216tx640，则256t2256(t232)0，且x3x4，x3x4，所以x3x4y3y4x3x4(x3x4)48.因为0b0)的长轴长为4，焦距为2.()求椭圆C的方程；()过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.()设直线PM，QM的斜率分
7、别为k，k，证明为定值；()求直线AB的斜率的最小值解：()设椭圆的半焦距为c，由题意知2a4,2c2，所以a2，b.所以椭圆C的方程为1.()()设P(x0，y0)(x00，y00)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)，所以直线PM的斜率k.直线QM的斜率k.此时3.所以为定值3.()设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线PA的方程为ykxm，直线QB的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240.由x0x1，可得x1，所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB(6k)由m0，x00，可知k0，所以6k2，等号当且仅当k时取得此时，即m，符合题意所以直线AB的斜率的最小值为.
