1、2 集合的基本关系 基础认知自主学习 1子集与真子集的概念与表示子集真子集定义一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的_元素都是集合B 中的元素,即若 aA,则 aB,我们就说集合 A_集合 B,或集合B_集合 A,集合 A 是集合 B 的子集.对于两个集合 A 与 B,如果AB,并且_,我们就说集合 A 是集合 B 的真子集任何一个 包含于 包含 AB子集真子集符号表示AB(或BA)A B(或BA).Venn图(1)若非空集合满足A B，则两个集合元素个数有什么关系？提示：若非空集合满足A B，则A中的元素个数小于或等于B中的元素个数(2)集合的包含关系与实数的大小关系有什么相似
2、性？提示：由集合与集合之间的包含关系，容易联想实数与实数的大小关系，可以类比学习.实数集合aba1，Bx|xa，且A B，则实数a的取值范围为()Aa1 Da1【解析】选B.如图，根据A B，在数轴上表示集合A，B，则a1.3(教材例题改编)已知集合Ax|x25x60，B2，3，Cx|x8，xN，用适当的符号填空：(1)A_B(2)A_C.(3)2_C(4)2_C.【解析】集合A为方程x25x60的解集，即A2，3，而Cx|x8，xN0，1，2，3，4，5，6，7故(1)AB；(2)AC；(3)2C；(4)2C.答案：(1)(2)(3)(4)能力形成合作探究类型一 子集、真子集的判断(逻辑推理
3、、直观想象)【典例】1.已知集合 Ax|x23x20，则下列选项正确的是()A3A B2A C 1 A D 1A【思路导引】集合A是方程x23x20的解构成的集合，故首先求解集合A，然后根据选项逐个判断即可【解析】选C.由题意，集合A x|x23x201，2，可得选项A、B、D都不正确，根据集合间的包含关系，可得 1 A是正确的2指出下列各对集合之间的关系：(1)A1，1，BxZ|x21(2)A1，1，B(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)(3)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形(4)Ax|1x4，Bx|x50【思路导引】根据集合中元素之间的关系判断两个集合之间的包含关系【解
4、析】(1)用列举法表示集合B1，1，故AB.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(4)集合Bx|x5，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.判断两集合关系的关键及方法(1)关键：明确集合中的元素或其属性(2)方法：列举法：将集合中的元素一一列举出来元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，看是否是同一类元素直观图表法：利用数轴或Venn图直观判断提醒：注意与的区别1已知集合Ax|1x2，Bx|0 x1，则()AAB BAB CBA DA B【解析】选C.如图
5、，利用数轴可看出任意xB xA，但xA时，xB不一定成立，如x0，故BA.2已知集合 Mx|xm16，mZ，Nx|xn2 13，nZ，Px|xp216，pZ，则 M，N，P 的关系为()AMN P BM NPCM N P DN P M【解析】选B.因为Mx|xm162m2 16，mZ，Nx|xn213n12 16，nZ，Px|xp216，pZ，所以M NP.类型二 子集、真子集的个数(逻辑推理)【典例】1.同时满足：M 1，2，3，4，5；aM且6aM的集合M有()A9个 B8个 C7个 D6个【思路导引】由条件，先将集合1，2，3，4，5中的元素分为3组；然后根据集合M中所含元素的组数进行分
6、类讨论，依次写出对应的集合即可【解析】选C.因为M 1，2，3，4，5；aM且6aM.当a1时，6a5M；当a2时，6a4M；当a3时，6a3M.因为M至少有一个元素，所以满足题意的集合M有：3，1，5，2，4，1，3，5，2，3，4，1，2，4，5，1，2，3，4，5共有7个集合满足条件2设Ax|(x216)(x25x4)0，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集【思路导引】根据子集中所含元素的个数进行分类，分别写出子集、真子集【解析】由(x216)(x25x4)0，得(x4)(x1)(x4)20，则方程的根为x4或x1或x4.故集合A4，1，4，由0个元素构成的子集为：.由1个元素构
7、成的子集为：4，1，4由2个元素构成的子集为：4，1，4，4，1，4由3个元素构成的子集为：4，1，4因此集合A的子集为：，4，1，4，4，1，4，4，1，4，4，1，4真子集为：，4，1，4，4，1，4，4，1，4与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个(2)A的非空子集的个数有2n1个(3)A的真子集的个数有2n1个(4)A的非空真子集的个数有2n2个 适合条件 1 A1，2，3，4，5的集合A的个数是()A15 B16 C31 D32【解析】选A.由题意集合A就是集合2，3，4，5的所有真子集加入元素1，因此其个数为24115.【补偿训练
8、】1.三个非零且互不相等的实数a，b，c，若满足ac2b，则称a，b，c是等差的；若满足1a 1b 2c，则称a，b，c是调和的，若集合P中元素a，b，c既是等差的，又是调和的，则称集合P为“和谐集”，若集合Mx|2 020 x2 020，xZ，集合Pa，b，c M，则“和谐集”P的个数为_【解析】三个非零且互不相等的实数a，b，c，满足ac2b，满足 1a 1b2c，由1a 1b 2c 得c 2abab，代入ac2b，得a 2abab 2b，整理得，a2ab2b20，即(a2b)(ab)0，因为ab，所以a2b，c4b.因为Mx|2 020 x2 020，xZ，Pa，b，c M，所以2 02
9、04b2 020，得505b505，由于a，b，c是调和的，故b0.所以整数b的个数为25051 010.即“和谐集”P的个数为1 010.答案：1 0102如何确定集合Aa1，a2，a3，an的子集？共有多少个子集？【解析】利用归纳法，猜想集合Aa1，a2，a3，an的子集：Aa1的子集为，a1，共有212个；Aa1，a2的子集为：，a1，a2，a1，a2，共有224个；Aa1，a2，a3的子集为，a1，a2，a3，a1，a2，a1，a3，a2，a3，a1，a2，a3，共有238个；按此规律，所以Aa1，a2，a3，an的子集共有2n个类型三 子集的证明与应用(数学抽象、逻辑推理)角度1 子
10、集的证明问题【典例】设集合Ax|x2n1，nZ，Bx|x2n1，nZ，求证：AB.【思路导引】要证明AB，只要证明A B，且B A.【证明】(1)任取xA，即x2n12(n1)1，nZ.因为nZ，所以n1Z，所以xB，所以A B.(2)任取xB，即x2n12(n1)1，nZ.因为nZ，所以n1Z，所以xA，所以B A.由(1)(2)可知AB.角度2 子集与参数问题【典例】已知集合Ax|x22mxm2m20，Bx|x23x20，且A B，求实数m的取值范围【思路导引】A B包括AB或AB；集合A中的元素个数可以是0，1，2.先用列举法表示集合B，然后分别就集合A中元素的个数转化为实数m的方程或不
11、等式求解【解析】由于集合Bx|x23x201，2，A B，可分以下三种情况：(1)若A，此时有4m24(m2m2)4m80，解得m2.(2)若AB，且A，则A1或A2，此时4m80，所以m2.代入方程解得A2，符合题意，所以m2.(3)若AB，此时A1，2，即1，2是x22mxm2m20的两个根，由根与系数的关系得2m3，且m2m22.此时m不存在综上所述，m|m2为所求 若本例中集合A与A B不变，将集合B换为Bx|x26x80，如何求实数m的取值范围？【解析】由于Bx|x26x802，4，A B可分以下三种情况：(1)若A，此时有4m24(m2m2)4m80，解得m2.(2)若AB，且A，
12、则A2或A4，此时4m80，所以m2.代入方程解得A2，符合题意，所以m2.(3)若AB，此时A2，4即2，4是x22mxm2m20的两个根，由根与系数的关系得2m6，且m2m28.此时m3.综上所述，m|m2或m3为所求1证明两集合相等的方法当集合A中的元素都属于集合B，且集合B中的元素也都属于集合A时有AB.2由集合间的关系求参数的思路与注意事项(1)思路：若集合中的元素可以一一列举出来，此时依据集合间的关系转化为已知方程(或方程组)的解，代入后求有关参数的值若集合表示的是不等式的解集，常借助于数轴表示出已知集合，然后对含参数的解集在数轴上举例表示，确定参数的取值(2)注意事项：已知两个集
13、合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解在有关不等式的解集的参数问题中，特别要注意端点值能否取到提醒：因为 A，故在解答含有字母的子集关系时，注意对集合的讨论1设集合Mx|x2n1，nZ，Nx|x4n1，nZ，则()AMN BNM CM N DN M【解析】选D.对于M，当n2k，kZ时，x4k1M，x4k1N，当n2k1，kZ时，x4k3M，x4k3N，所以集合M，N的关系为N M.2已知集合A1，3，x3，B1，x2，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由【解析】因为B A，即B的任意一个元素必是A的元素(1
14、)若x23，则x1，符合题设；(2)若x2x3，则x3x20，得(x31)(x1)0，(x1)(x2x1)(x1)0，得(x1)(x2x2)0，所以x10，或x2x20(无实数根)，得x1，此时x21，与集合元素互异性矛盾综上可知，当x1时，A1，1，3，B1，33已知集合Ax|1x2，Bx|1x2.(2)若B A，由图可知，1a2.【补偿训练】1.设集合Mx|x22x30，Nx|ax10，若N M，则所有满足条件的a的取值集合为_【解析】由N M，Mx|x22x301，3，Nxax1，得N或N1或N3当N1时，由1a 1，得a1.当N 时，ax10无解，即a0.当N3时，由1a 3，得a13
15、.故满足条件的a的取值集合为1，0，13.答案：1，0，132设集合Ax|x12m8n，m，nZ，Bx|x20p16q，p，qZ，求证：AB.【证明】(1)任取x1A，即x112m8n，mZ，nZ.当m，n同奇或同偶时，x120m16nm2；当m，n一奇一偶时，x120(m2)16nm52.因为m，nZ，所以nm2Z(m，n同奇或同偶)，且nm52Z(m，n一奇一偶).所以x120p16q，p，qZ，所以x1B，所以A B.(2)任取x2B，即x220p16q，pZ，qZ.所以x212p8(p2q)，因为pZ，qZ，所以p2qZ，所以x212m8n，m，nZ，所以x2A，所以B A.由(1)(
16、2)可知AB.1给出下列关系式：2 Q；1，2（1，2）；2 1，2；1，2，其中正确关系式的个数是()A0 B1 C2 D3学情诊断课堂测评【解析】选B.2 为无理数，故不正确；1，2是以1，2为元素的集合，(1，2)可以看成是以点(1，2)为元素的集合，故两集合不相等，所以不正确；由元素与集合的关系知21，2正确，故正确；集合 包含了一个元素 ，而集合1，2包含了元素1，2，所以 1，2，故不正确2若集合Px|x2，Qy|y1，则P与Q的关系为()AP Q BQ PCPQD以上都不正确【解析】选B.因为Px|x2，Qy|y1x|x1，用数轴表示如下所以Q P.3若集合2 019，2 020
17、 xNxn，则n的值满足()A最大值为2 019 B最大值为2 020C最小值为2 019 D最小值为2 020【解析】选D.因为2 019，2 020 xNxn，则n的值满足n2 020，所以n的最小值为2 020.4已知集合A2，0，1，9，则集合A的非空真子集的个数为_【解析】由于集合A有4个元素，故集合A的非空真子集的个数为24214.答案：145(教材练习改编)集合Mx|x23xa220，aR的子集的个数为_【解析】因为94(2a2)14a20，所以x23xa220有两个不相等的实数根，所以M恒有2个元素，所以M的子集共有4个答案：4【补偿训练】设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1 A且k1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S1，2，3，4，5，6，7，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？【解析】由于A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1 A且k1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S1，2，3，4，5，6，7，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，共有5个
