1、2.复数、平面向量一、选择题1.(2022广东梅州二模)复数z满足(1-i)z=|2i|,i为虚数单位,则复数z的虚部为()A.-B.C.-D.2.(2022全国乙理2)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-23.(2022河北石家庄一模)若复数z=(1+2i)(a-i)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(-,-2)4.(2022新高考4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=()A.-6B.-5C.5D.65.(2022山东
2、枣庄一模)设z1,z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个不同解,则()A.|z1-z2|=B.|z1|=C.z1+z2=1D.z1z2=16.(2022新高考3)在ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n7.(2022福建漳州二模)复数z满足|z-(5+5i)|=2,则z在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(2022北京10)在ABC中,AC=3,BC=4,C=90.P为ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是()A.-5,3B.-3,5C.-6,4
3、D.-4,69.(2022广东广州三模)已知向量a=(3,-1),b=(1,-2),则下列结论错误的是()A.ab=5B.|a-b|=C.=D.ab10.(2022山东滨州二模)欧拉公式eix=cos x+isin x(e为自然对数的底数,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列结论错误的是()A.复数为纯虚数B.复数ei2在复平面内对应的点位于第二象限C.复数的共轭复数为iD.复数ei(R)在复平面内对应的点的轨迹是圆11.已知正八边形ABCDEFGH,其中OA=2,则下列结论
4、不正确的是()A.=0B.=-2C.|=4D.|=4+212.(2022广东三模)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,P是圆O内的定点,且OP=,弦AC,BD均过点P,则下列说法错误的是()A.()=0B.为定值C.的取值范围是-2,0D.当ACBD时,为定值二、填空题13.写出一个同时满足下列条件的复数z=.|z|=5复数z在复平面内对应的点在第四象限14.(2022全国甲理13)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)b=.15.(202
5、2山东济宁三模)在边长为4的等边三角形ABC中,已知,点P在线段CD上,且=m,则|=.16.(2022天津滨海模拟)在北京冬奥会开幕式上,贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴,象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界(如图1),顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知正六边形的边长为1,点M满足),则|=;若P是线段EC上的动点(包括端点),则的最小值是.图1图22.复数、平面向量1.D解析: 因为(1-i)z=|2i|,所以(1-i)z=2,所以z=i,所以复数z的虚部为.2.A解析: z=1-2i,
6、=1+2i,z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0,解得故选A.3.B解析: 由题得z=(1+2i)(a-i)=a+2+(2a-1)i在复平面内对应的点(a+2,2a-1)在第四象限,所以解得-2a.4.C解析: 由题意得c=(3+t,4),cos=cos,故,解得t=5.故选C.5.D解析: 由方程x2+x+1=0,得=1-4=-30,由求根公式得,不妨设z1=-i,z2=-i.|z1-z2|=|i|=,故A错误;|z1|=1,故B错误;z1+z2=-1,故C错误;z1z2=-i-i=1,故D正确.6.B解析: 如图.BD=2DA,=3,+3+3()=-2+
7、3.又=m,=n,所以=-2m+3n.故选B.7.A解析: 设复数z=x+yi(x,yR),因为|z-(5+5i)|=2,所以(x-5)2+(y-5)2=4,即复数z在复平面内对应的点在以(5,5)为圆心,以2为半径的圆上,所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.8.D解析: 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).PC=1,可设P(cos ,sin ),0360,=(3-cos ,-sin )(-cos ,4-sin )=-3cos -4sin +sin2+cos2=1-5sin(+),其中tan =,-1s
8、in(+)1,-46.故选D.9.D解析: ab=31+(-1)(-2)=5,故A正确;a-b=(2,1),|a-b|=,故B正确;|a|=,|b|=,则cos=,=,故C正确;3(-2)(-1)1,故D错误.10.C解析: 复数=cos+isin=i为纯虚数,故A正确;复数ei2=cos 2+isin 2,因为cos 20,所以复数ei2在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)位于第二象限,故B正确;复数=cos+isini的共轭复数为i,故C错误;复数ei=cos +isin (R)在复平面内对应的点为(cos ,sin ),因为cos2+sin2=1,所以复数ei(R)在复平面内对应
9、的点的轨迹是圆,故D正确.11.D解析: 由题意,分别以HD,BF所在的直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,易知AOH=HOG=AOB=EOF=FOG=DOE=COB=COD=45,作AMHD,则OM=AM.因为OA=2,所以OM=AM=,所以A(-,-).同理可得其余各点坐标,B(0,-2),E(),G(-),D(2,0),H(-2,0).=(0+,-2)=0,故A正确;=(-)2+(-)0=-2,故B正确;=(-2+),=(-2-,-),=(-4,0),所以|=4,故C正确;=(-2+),=(-2+,-),=(-4+2,0),|=4-2,故D不正确.12.C解析: 连接OA,O
10、B,OC,OD,OP,设弦DB的中点为S,连接OS,则OSBD.故()=2=0,故A正确;设直线PO与圆O交于点E,F,则=-|=-EPPF=-(OE-PO)(OE+PO)=PO2-EO2=-2,故B正确;取AC的中点M,连接OM,则=()()=-(4-)=2-4,而0OP2=2,故的取值范围是-4,0,故C错误;当ACBD时,=()()=-|-|=-2EPPF=-4,故D正确.13.3-4i(答案不唯一)解析: 不妨令z=3-4i,则|z|=5,复数z在复平面内对应的点(3,-4)位于第四象限,满足,故z=3-4i符合题意.14.11解析: 由题得,ab=13cos=13=1,则(2a+b)b=2ab+|b|2=2+9=11.15.解析: 因为,所以.所以=m=m.因为点P在线段CD上,所以P,C,D三点共线,m+=1,即m=.所以.又ABC是边长为4的等边三角形,所以|2=|2+|cos 60+|2=16+4416=7,故|=.16.-解析: 由题可知|=|=1,=,则+2)=1-2+1=,故|=.设=()(01),则=()()=(+)(-1)+=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+2+2=-(-1)+(-1)+(-1)+(-1)-+2+2=3(2-)=3,又0,1,故当=时,取得最小值-.