1、易错点 15 导数中的零点问题一、单选题1.已知函数()=ln+1+，()是()的导函数，若关于 x 的方程(+1)()=()有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是A.(,12 ln2)B.(12 ln2,0)C.(,14 ln2)D.(14 ln2,0)2.设函数()=2+6，则()零点的个数为A.3B.2C.1D.03.已知函数()=e，要使函数()=()2 ()+1的零点个数最多，则 k 的取值范围是A.e2B.e2 eD.e24.已知函数()满足()=(3)，当 1,3),()=ln，若在区间1,9)内，函数()=()有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是A.(ln33,1)B
2、.(ln39,13)C.(ln39,12)D.(ln39,ln33)5.关于函数()=2+lnx，下列说法正确的是(1)=2是()的极小值点；(2)函数=()有且只有 1 个零点；(3)()12 恒成立；(4)设函数()=xf()+2+4，若存在区间,12,+)，使()在,上的值域是(+2),(+2)，则 (1,9+2ln210A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4)6.已知函数()满足2()+2()=1+ln，()=1.当 0时，下列说法：(1)=()只有一个零点()有两个零点()有一个极大值其中正确的是A.B.C.D.7.若函数()=(2)+lnx
3、+1在(0,2)上存在两个极值点，则 a 的取值范围为A.(,142)B.(1,142)(1,+)C.(,1)D.(,1)(1,142)8.已知函数=()在 R 上可导且(0)=2，其导函数()满足()()2 0，对于函数()=()，下列结论错误的是A.函数()在(2,+)上为单调递增函数B.=2是函数()的极小值点C.0时，不等式()2恒成立D.函数()至多有两个零点二、填空题9.已知函数在(0,+)内有且只有一个零点，则()在1,e2上的最大值与最小值的和为_10.已知函数()=(2 )(1)2ln，若函数()在(0,12)上无零点，则 a 的最小值为_11.已知()=3 2+12()在(
4、0,+)内有且仅有一个零点，当 1,2时，函数()的值域是,，则+=_12.已知函数()=e 1+ln 1()在(0,+)上存在唯一零点0，则下列说法中正确的是_.(请将所有正确的序号填在横格上)=2；2；0=0；1e 0 0，e 是自然对数的底数)(1)当=2时，求曲线=()在点(0,(0)处的切线方程；(2)若函数()恰好有两个零点，求实数 a 的取值范围14.已知函数(1)求曲线=()在=1处的切线方程；(2)函数()在区间(,+1)()上有零点，求 k 的值；(3)记函数()=12 2 2 ()，设1,2(1 2)是函数()的两个极值点，若 32，且(1)(2)恒成立，求实数 k 的最
5、大值15.已知函数()=lnx+1ax()在=1处的切线与直线 2+1=0平行(1)求实数 a 的值，并判断函数()的单调性；(2)若函数()=有两个零点1，2，且1 116.已知函数()=ln+(0)()若函数()有零点，求实数 a 的取值范围；()证明：当 2e时，()一、单选题1.已知函数()=ln+1+，()是()的导函数，若关于 x 的方程(+1)()=()有两个不相等的实根，则实数 a 的取值范围是A.(,12 ln2)B.(12 ln2,0)C.(,14 ln2)D.(14 ln2,0)【答案】C【解析】解：由()=ln+1+，所以函数()的定义域为(0,+)，()=1 12，则
6、方程(+1)()=()，即为(+1)(1 12)=ln+1+，化简可得=1 12 ln 1，由关于 x 的方程(+1)()=()有两个不相等的实根，所以可知方程=1 12 ln 1有两个不相等的实根，故令()=1 12 ln 1，()=23 1+12=(2)(+1)3当0 0，所以函数()单调递增，当 2时，()0，所以函数()单调递减所以()max=(2)=14 ln 2，又14 ln2=ln4 ln2=ln4 ln164 0，所以()max=(2)=14 ln 2 0，故可知 14 ln2故选 C2.设函数()=2+6，则()零点的个数为A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】解：函数(
7、)=2+6的定义域为(0,+)()=1 2=12.令()=0，解得=12当0 0，函数()单调递增；当 12时，()0当 0且 0时，()；当 +时，()故函数()有且只有两个零点故选：B3.已知函数()=e，要使函数()=()2 ()+1的零点个数最多，则 k 的取值范围是A.e2B.e2 eD.e2【答案】B【解析】因为()=e，所以()=(+1)，当 1时，()1时，()0，可得()在(,1)上递减，在(1,+)递增，所以()=e有最小值(1)=1，且 0时，()0，当 x 趋向于负无穷时，()趋向于 0，但始终小于 0，所以，当 (,1)时，关于 x 的方程()=无解；当时，关于 x
8、的方程()=有一个实根；当 (1,0)时，关于 x 的方程()=有两个实根；因为函数()=2 +1的图象过点(0,1)，所以关于 t 的方程2 +1=0不可能在区间(1,0)内有两个不等实根，要使函数()=()2 ()+1的零点个数最多，需使关于 t 的方程2 +1=0在区间(1,0)和(0,+)各有一个实根，即需使 0,(1)2 (1)+1 0,解得 2 ，故选 B4.已知函数()满足()=(3)，当 1,3),()=ln，若在区间1,9)内，函数()=()有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是A.(ln33,1)B.(ln39,13)C.(ln39,12)D.(ln39,ln33)【答案
9、】B【解析】解：设 3,9)，则3 1,3),1,3)，()=，(3)=ln3，函数()满足()=(3)，(3)=()=ln3，()=,1 3ln3,3 0，当 (,3)时，()0，当 (3,9)时，()12 恒成立；(4)设函数()=xf()+2+4，若存在区间,12,+)，使()在,上的值域是(+2),(+2)，则 (1,9+2ln210A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】(1)函数()的定义域为(0,+)，函数()=2+ln的导数()=22+1=22，(0,2)上，()0，函数单调递增，=2是()的极小值点，即(1)正确；(
10、2)=()=2+ln ，=22+1 1=2+22 0，当=2时，=2 1 0，函数=()有且只有 1 个零点，即(2)正确；(3)令()=()12 =2+ln 12，则(8)=ln8 154 ln3 154 12 不恒成立，即(3)错误；(4)函数()=()+2+4=2 ln+2令()=()=2 1，()=2 1，当 12时，()0，()在12,+)上单调递增，()=()(12)=ln12=ln2 0，()在12,+)上单调递增，,12,+),()在,上单调递增，()在,上的值域为(+2),(+2)，()=(+2)()=(+2),方程()=(+2)在12,+)上有两解 a，b即=()+2=2l
11、n+2+2在12,+)上有两解，令()=2ln+2+2，12,+),所以()=2+342ln(+2)2，令()=2+3 4 2ln，则()=2+3 2=(+2)(21)0，即()在 12,+)上单调递增，又(1)=0，所以当 12,1)时，()0，即()0，即()0，即()在 12,1)内单调递减，在 (1,+)内单调递增，又(1)=1，(12)=9+2ln210，若要=()+2=2ln+2+2在12,+)上有两解，故(4)正确，故正确的为(1)(2)(4)，故选 C6.已知函数()满足2()+2()=1+ln，()=1.当 0时，下列说法：(1)=()只有一个零点()有两个零点()有一个极大
12、值其中正确的是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意可知，函数()的定义域为(0,+)，令()=2()，则()=2()+2()=1+ln，则()=ln+(为常数)，又()=2()=，则ln+=，解得=0，故()=()2=ln，()=1ln2，当 (0,)，()0，()单调递增；当 (,+)，()0，函数()是单调增函数，=12至多有一解；()(0,)(,42)，(,1)(1,142)，故选 D8.已知函数=()在 R 上可导且(0)=2，其导函数()满足()()2 0，对于函数()=()，下列结论错误的是A.函数()在(2,+)上为单调递增函数B.=2是函数()的极小值点C.0时，不等式
13、()2恒成立D.函数()至多有两个零点【答案】C【解析】解：因为()=()()所以当 2时，()0，()在(2,+)上单调递增，A 选项正确当 2时，()0，()在(,2)上单调递减，()极小=(2)，B 选项正确；若(2)0，则=()有一个或两个零点，若(2)=0，则=()有 1 个零点 若(2)0，则=()有没有零点 所以 D 选项正确；()在(,2)上单调递减，()在(,0上单调递减，()(0)=(0)0=2，()2，()2，C 选项错误，故选 C二、填空题9.已知函数在(0,+)内有且只有一个零点，则()在1,e2上的最大值与最小值的和为_【答案】2 3【解析】解：因为()=且(1)=
14、0，当 0时，()在(0,)递减，在(,+)递增，由题意，得，此时=1故=1，则()=1 ，故函数()在1,2递增，所以()+()=(1)+(2)=2 3，故答案为2 310.已知函数()=(2 )(1)2ln，若函数()在(0,12)上无零点，则 a 的最小值为_【答案】2 4ln2【解析】解：因为()0恒成立，即对任意 (0,12)，2 2ln1恒成立，令()=2 2ln1，(0,12)，则()=2ln+22(1)2，令()=2ln+2 2，(0,12)，则()=22+2=2(1)2 (12)=2 2ln2 0，从而()0，于是()=22ln1 在在(0,12)上为增函数，所以()22ln
15、1 在(0,12)上恒成立，只要 2 4ln2,+),综上，若函数()在(0,12)上无零点，则 a 的最小值为2 4ln2故答案为2 4ln211.已知()=3 2+12()在(0,+)内有且仅有一个零点，当 1,2时，函数()的值域是,，则+=_【答案】2【解析】解：(0)=12，()=32 2=(3 2)，令()=0，得=0或=23；若23 0，即 0，则 (,0)时，()0，(0,23)时，()0，()在(0,23)单调递减，在(23,+)单调递增，若()在(0,+)内有且仅有一个零点，则(23)=(23)3 (23)2+12=0，解得=32，()=3 32 2+12，故()在1,0)
16、单调递增，在(0,1)单调递减，在(1,2单调递增，(1)=2，(0)=12，(1)=0，(2)=52，()=(2)=52，()=(1)=2；=2，=52 +=32 2+52=2；当23 0，即 0，则 (0,+)时，()0，()单调递增，又()(0)=12，()在(0,+)内没有零点；综上，+=2故答案为 212.已知函数()=e 1+ln 1()在(0,+)上存在唯一零点0，则下列说法中正确的是_.(请将所有正确的序号填在横格上)=2；2；0=0；1e 0 0时，=1有唯一解 t，满足=1，故()在(0,)上单调递减，(,+)上单调递增又因为 0，()+;+，()+，因此=0，即(0)=0
17、，故=2，ln0+0=0，故正确，错误另外，令()=ln+，()=1+1 0，故()在(0,+)上单调递增，(1)=1+1 0，(12)=ln2+12=12 ln4 0，e 是自然对数的底数)(1)当=2时，求曲线=()在点(0,(0)处的切线方程；(2)若函数()恰好有两个零点，求实数 a 的取值范围【答案】解：(1)当=2时，()=2 1，()=2 1 (0)=2 1=1，又(0)=2 1=1，曲线=()在点(0,(0)处的切线方程为 1=，即 +1=0；(2)问题等价于()=1(+1)的图象和直线=恰好有 2 个交点，求 a 的取值范围，令()=1(+1)，则()=122，令()=1 2
18、 ，则()=2 0，()0，()在(,0)上单调递增，当 (0,+)时，()0，()0，()在(0,+)上单调递减，()的极大值即最大值为(0)=1，当 (,0时，()(,1；当 (0,+)时，()(0,1)，当 (0,1)时，()=1(+1)的图象和直线=恰好有 2 个交点，即函数()恰好有两个零点故 a 的范围为(0,1)14.已知函数(1)求曲线=()在=1处的切线方程；(2)函数()在区间(,+1)()上有零点，求 k 的值；(3)记函数()=12 2 2 ()，设1,2(1 2)是函数()的两个极值点，若 32，且(1)(2)恒成立，求实数 k 的最大值【答案】解：(1)()=1 1
19、，所以切线斜率为(1)=0，又(1)=1，切点为(1,1)，所以切线方程为=1(2)令()=1 1=0，得=1，当0 1时，()1时，()0，函数()单调递增，所以()的极小值为(1)=1 0恒成立，1+2=+1，12=1，0 1 2，设=12，则0 1，令，0 1，则()=1 12(1+12)=(1)222 0，()在(0,1)上单调递减；32，(+1)2 254，(+1)2=(1+2)2=12+212+2212=12+2+21=+1+2，+1+2 254，42 17+4 0，0 14，当=14时，即实数 k 的最大值为15.已知函数()=lnx+1ax()在=1处的切线与直线 2+1=0平
20、行(1)求实数 a 的值，并判断函数()的单调性；(2)若函数()=有两个零点1，2，且1 1【答案】解：(1)函数()的定义域：(0,+)，(1)=1 1=12，解得=2，()=ln+12，()=1 122=2 122令()0，解得0 0，解得 12，故()在(12,+)上是单调递增(2)由1,2为函数()=的两个零点，得ln1+121=,ln2+122=两式相减，可得ln1 ln2+121 122=0即ln12=12212，12=122ln12，因此1=1212ln12，2=1212ln12令=12，由1 2，得0 1则1+2=12ln+112ln=12ln，构造函数()=1 2ln(0
21、0所以函数()在(0,1)上单调递增，故()(1)=0，即 1 2ln 0，又0 1,所以lnt 1.故命题1+2 1得证16.已知函数()=ln+(0)()若函数()有零点，求实数 a 的取值范围；()证明：当 2e时，()【答案】解：()法 1：函数()=+的定义域为(0,+)由()=+，得()=1 2=2，因为 0，则 (0,)时，()0所以函数()在(0,)上单调递减，在(,+)上单调递增当=时，()=+1当+1 0，即0 0，则函数()有零点所以实数 a 的取值范围为(0,1法 2：函数()=+的定义域为(0,+)由()=+=0，得=令()=，则()=(+1)当 (0,1)时，()0；当 (1,+)时，()0；当 (1,+)时，()0因而函数()=+有零点，则0 ，即证明当 0，2时，+，即+令()=+，则()=+1当0 1时，()1时，()0所以函数()在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增当=1时，()=1+于是，当 2时，()1+1.令()=，则()=(1 )当0 0；当 1时，()0时，()1.显然，不等式、中的等号不能同时成立故当 2时，()
