1、易错点10 指数函数、对数函数与幂函数模型一、单选题1. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年2. 茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，
2、根据所得数据做出如图所示的散点图观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（ ）A. y=mx2+n(m0)B. y=mx+n(m0)C. y=max+n(m0,a0且a1)D. y=mlogax+n(m0,a0且a1)3. 英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是1，环境温度是0，那么经过t小时后物体的温度将满足=0+(10)ekt.通过实验观察发现，在20的室温下，一块从冰箱中取出的20的冻肉经过0.5小时后温度升至0，在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为100的水，冷却到40，大约经过的时间为（ ）(忽
3、略体积等其它因素的影响)A. 1小时B. 1.5小时C. 2小时D. 2.5小时4. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）附：lg20.3010A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%5. 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操
4、作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.(取lg30.4771，lg20.3010)A. 16B. 17C. 24D. 256. 新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增
5、加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量Xn与扩增次数n满足：lgXn=nlg1+p+lgX0，其中p为扩增效率，X0为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率p约为（ ）(参考数据：100.21.585，100.20.631)A. 0.585B. 0.369C. 0.415D. 0.6317. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：)间的关系式为P=P0ekt，其中P0，k为正常数如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还
6、需要经过多长时间（ ）(结果四舍五入取整数，参考数据：ln20.693，ln51.609)A. 11hB. 21hC. 31hD. 41h8. 人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f(x)=10lgx102(dB).装修房屋时电钻的声音约为100dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的（ ）倍A. 104B. e4C. 4D. 53二、单空题9. 当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古
7、城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录.目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一.今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54.利用参考数据：lg2=0.30,lg3=0.48，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有_年(精确到1年)10. 据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍该蝗虫群
8、当前有1亿只蝗虫，则经过_天，蝗虫数量会达到4000亿只(参考数据：lg20.30，lg30.48)11. 冈珀茨模型(y=kabt)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：当t=0时，表示2020年初的种群数量)，若m(mN)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_.(ln20.7)12. 放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，已知铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后
9、两种物质的质量相等，若物质B的半衰期为8小时，则物质A的半衰期为_小时三、解答题13. 习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生话中的主流文化某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为1.94mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量rn，可由函数模型rn=r0(r0r1)50.5n+p(pR，nN)给出，其中n
10、是指改良工艺的次数(1)试求改良后rn的函数模型；(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(参考数据；取lg2=0.3)14. 1766年，人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号(x)1(金星)2(地球)3(火星)4(
11、 )5(木星)6(土星)离太阳的距离(y)0.71.01.65.210.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可)；y=ax+b；y=abx+c(b1)；y=alogbx+c(b1)(2)根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离15. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这
12、些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y=kax(k0,a1)与y=px12+k(p0,k0)可供选择(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份(参考数据：lg20.3010，lg30.4711)一、单选题1. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超
13、过200万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)A. 2023年B. 2024年C. 2025年D. 2026年【答案】B【解析】解：设n年后，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元由题意，知130(1+12)n200，得lg130(1+12)nlg200，lg1.3+2+nlg1.12lg2+2，即0.11+0.05n0.3，n3.8又nN，nmin=4，故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年故选B2. 茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可
14、以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（ ）A. y=mx2+n(m0)B. y=mx+n(m0)C. y=max+n(m0,a0且a1)D. y=mlogax+n(m0,a0且a1)【答案】C【解析】解：选项A中，函数的图象以y轴为对称轴，不符散点图；选项B中，函数的图象是直线，不符散点图；选项D中，x0，与y轴无限接近，与散点图不符故选C3. 英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是1
15、，环境温度是0，那么经过t小时后物体的温度将满足=0+(10)ekt.通过实验观察发现，在20的室温下，一块从冰箱中取出的20的冻肉经过0.5小时后温度升至0，在相同的环境下利用牛顿冷却模型计算：温度为100的水，冷却到40，大约经过的时间为（ ）(忽略体积等其它因素的影响)A. 1小时B. 1.5小时C. 2小时D. 2.5小时【答案】A【解析】解：依题意，可令0=20,t=0.5,1=20,=0代入式子得：=0+(10)ekt.，解得k=ln4，=0+(01)eln4t又把0=20,1=100,=40代入式子得40=20+80eln4tt=1，故选A4. 中国的5G技术领先世界，5G技术的
16、数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）附：lg20.3010A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%【答案】B【解析】解：由题意，当SN=1000时，C=Wlog2(1+1000)=Wlog21001，当SN=4000时，C=Wlog2(1+4000)=Wlog24001，则C增加的百分
17、比为：Wlog24001Wlog21001Wlog21001100=log240011001log21001100log24log21024100=20故选B5. 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通
18、过构造的次数是（ ）.(取lg30.4771，lg20.3010)A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】D【解析】解：由题意，记初始线段长度为aa0，一次构造”后的折线的长度为4a3，二次构造”后的折线的长度为(43)2a，次构造后的折线的长度为(43)na，则要使得到的折线的长度达到原来的1000倍，应满足43na1000a，两边同时取对数得nlg43lg1000=3，即得n(2lg2lg3)3，n32lg2lg3，代入数据得n30.60200.477124.02，故至少需要通过构造的次数是25故选D6. 新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物
19、质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量Xn与扩增次数n满足：lgXn=nlg1+p+lgX0，其中p为扩增效率，X0为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率p约为（ ）(参考数据：100.21.585，100.20.631)A. 0.585B. 0.369C. 0.415D. 0.631【答案】A【解析】解：由题意得，当DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍得，lg10Xn=5nlg(1+p)+lgX0，联立lgXn=nlg(1+p)+lgX0，得，lg10XnlgXn=5nlg(1+p
20、)nlg(1+p)，lg10XnXn=lg(1+p)5n(1+p)n，即lg10=5lg(1+p)，1=5lg(1+p)，转换成指数形式，1015=1+p，即100.2=1+p，因为100.21.585，所以1.585=1+p，即p=0.585，故选A7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：)间的关系式为P=P0ekt，其中P0，k为正常数如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间（ ）(结果四舍五入取整数，参考数据：ln20.693，ln51.609)A. 11hB.
21、 21hC. 31hD. 41h【答案】B【解析】解：因为污染物在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，所以污染物减少到最初含量的50%时，有所以10t=ln0.8ln0.5=ln45ln12=2ln2ln5ln2=2+ln5ln20.322，解得t31()，故还要经过3110=21()，才可使得污染物减少到最初含量的50%故选B8. 人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f(x)=10lgx102(dB).装修房屋时电钻的声音约为100dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的（ ）倍A. 104
22、B. e4C. 4D. 53【答案】A【解析】解：装修房屋时电钻的声音约为100dB，10lgx102=100，x102=1010，x=108，正常交谈的声音约为60dB，10lgx102=60，x102=106，x=104，108104=104，故装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的104倍.故选A二、单空题9. 当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录.目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一.今年暑期，某中学的“考古学”兴
23、趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54.利用参考数据：lg2=0.30,lg3=0.48，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有_年(精确到1年)【答案】4966【解析】解：设草茎遗存物距今大约有t年，则根据题意有12t5730=54，t5730lg12=lg54100，t=5730(3lg3+lg2)2lg2496610. 据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁已知某蝗虫群在适宜的
24、环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过_天，蝗虫数量会达到4000亿只(参考数据：lg20.30，lg30.48)【答案】54【解析】解：设经过x天，蝗虫数量是原来的y=ax倍，则x=15时，y=10，所以a15=10，a=10115，y=10x15，设1亿只蝗虫经过t天，数量达到4000亿只，则数量增长为原来的4000倍所以10t15=4000，则t15=lg4000=lg(221000)=2lg2+33.6，解得t=153.6=54天故答案为5411. 冈珀茨模型(y=kabt)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，
25、并用于描述种群的消亡规律已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：当t=0时，表示2020年初的种群数量)，若m(mN)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值为_.(ln20.7)【答案】6【解析】解：当t=0时，当t=m时，因为m(mN)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，所以，即，即，所以0.125m5.6，所以m的最小值为6故答案为：612. 放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，已知铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相
26、等，若物质B的半衰期为8小时，则物质A的半衰期为_小时【答案】7.5【解析】解：设mB=1，则mA=2.设物质A的半衰期为t由题意可得：212120t=(12)1208，解得t=7.5故答案为7.5三、解答题13. 习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生话中的主流文化某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为1.94mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量
27、为r1，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量rn，可由函数模型rn=r0(r0r1)50.5n+p(pR，nN)给出，其中n是指改良工艺的次数(1)试求改良后rn的函数模型；(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？(参考数据；取lg2=0.3)【答案】解：(1)由题意得r0=2,r1=1.94,所以当n=1时，r1=r0(r0r1)50.5+p，即1.94=2(21.94)50.5+p，解得p=0.5，所以rn=20.0650.5n0.5nN，故改良后所排放的废气中
28、含有的污染物数量的函数模型为rn=20.0650.5n0.5nN(2)由题意可得rn=20.0650.5n0.50.08，整理得50.5n0.532，两边同时取常用对数，得0.5n0.5lg32lg5，整理得n25lg21lg2+1，将lg2=0.3代入可得25lg21lg2+1=307+15.3，又因为nN，所以n6，综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标14. 1766年，人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律
29、后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号(x)1(金星)2(地球)3(火星)4( )5(木星)6(土星)离太阳的距离(y)0.71.01.65.210.0受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可)；y=ax+b；y=abx+c(b1)；y=alogbx+c(b1)(2)根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析
30、式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离【答案】解：(1)散点图如图所示：根据散点图可知，模型符合题意(2)将(1,0.7)，(2,1)，(3,1.6)分别代入y=abx+c， 得ab+c=0.7,ab2+c=1,ab3+c=1.6, 解得a=0.15，b=2，c=0.4，所以y=0.152x+0.4(xN). 当x=5时，y=0.1525+0.4=5.2，当x=6时，y=0.1526+0.4=10， 与已知表中数据完全吻合(3)当x=4时，y=0.1524+0.4=2.8AU，所以谷神星离太阳的距离为2.8AU15. 某生物研究者于元旦在湖中放入一
31、些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y=kax(k0,a1)与y=px12+k(p0,k0)可供选择(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份(参考数据：lg20.3010，lg30.4711)【答案】解：(1)函数y=kax(k0,a1)与y=px12+k(p0,k0)在(0,+)上都是增函数，随着x的增加，函数y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快，而函数y=px12+k的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y=kax(k0,a1)符合要求根据题意可知x=2时，y=24；x=3时，y=36，ka2=24ka3=36，解得k=323a=32故该函数模型的解析式为y=323(32)x，1x12，xN；(2)当x=0时，y=323，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323m2，由323(32)x10323，得(32)x10，xlog3210=lg10lg32=1lg3lg25.9，xN，x6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份