1、微专题44多变量的不等式恒成立与存在性问题1.函数f(x)x33x1，若对于区间3，2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_2已知不等式x122lnx1x22m0，对任意x11，4，x22，1恒成立，则实数m的取值范围是_3若不等式bxc9lnxx2对任意实数x(0，)，b(0，3)恒成立，则实数c的取值范围是_4函数f(x)x24x3，g(x)mx52m，若对任意的x11，4，总存在x21，4，f(x1)g(x2)成立，实数m的取值范围是_5已知函数f(x)2x5lnx，g(x)x2mx4，若存在x1(0，1)，对任意x21，2，总有f(x1)g(x2)成立
2、，则实数m的取值范围为_6已知不等式(mn)2(mlnn)22对任意mR，n(0，)恒成立，则实数的取值范围为_7.已知函数f(x)x22lnxm，g(x)xm，(mR)(1)若存在实数x11，4，对任意实数x22，1，有不等式f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围(2)对任意实数x11，4，存在实数x22，1，使不等式f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围8已知函数f(x)x2mx1(mR)，g(x)ex，若m(1，0)，设函数G(x)，H(x)x，求证：对任意x1，x21，1m，G(x1)0时，g(x2)的值域为5m，52m，m6(2)m0，当x(，1)时，f(x)1.当lnx
3、的切线斜率为1时，y1，得x1，则ylnx在点(1，0)处的切线与yx平行，则点(1，0)到直线yx的距离，得1(3舍去)7答案：(1)(，；(2)6ln4，)解析：(1)f(x1)g(x2)min2m，f(x1)minm2，f(x1)0，f(x1)在1，4是增函数，1mm2，m.因此实数m的取值范围为(，(2)f(x1)g(x2)max4m，f(x1)maxm4，f(x1)0，f(x1)在1，4是增函数，162ln4mm4，m6ln4.因为实数m的取值范围为6ln4，)8证明：G(x)，则G(x).要证任意x1，x21，1m，G(x1)H(x2)恒成立，即证G(x)maxH(x)min.因为x1，1m，所以G(x)在1，1m上单调递增，G(x)maxG(1m).因为H(x)在1，1m上单调递减，H(x)minH(1m)(1m).要证G(x)maxH(x)min，即证(1m)，即证4(2m)2ex40，所以r(x)ex(5x)4(x1)在(1，2)上单调递增因为r(1)4e80，所以ex(5x)4(x1)，从而有(1m)，即当x1，1m时，G(x)maxH(x)min成立所以对任意x1，x21，1m，G(x1)H(x2)恒成立
