1、第1讲三角函数的图象与性质考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系牢记“口诀”，勿忘“关系”1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin _，cos _，tan _各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角关系：_1，sincos_3诱导公式：在k2，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例 1 (1)2022湖南长沙一中模拟若角的终边过点P(8m，3)，且tan 34，则m的值为()A12 B12C32 D32(2)2022安徽蚌埠三模已知tan 2，则sin2-+2cos2+sin+-cos-的值为()A3 B3C53 D1归纳总结利用
2、公式进行化简求值的策略(1)利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负脱周化锐，特别注意函数名称和符号的确定(2)利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等提醒使用三角函数诱导公式易错的地方有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号对点训练1.2022河南新乡二模已知点A是的终边与单位圆的交点，若A的横坐标为45，则cos 2()A25B25C725 D72522021新高考卷若tan 2，则sin1+sin2sin+cos()A65B. 25C25D. 65考点二三角函数的图象与解析式平移看“，”，伸缩看“A，”，由图定式找对应
3、，性质、图象结合牢三角函数图象的变换先平移后伸缩先伸缩后平移例 2 (1)2022山东烟台二中检测若函数f(x)sin (x)0，2的部分图象如图所示，则和的值是()A1，3B1，3C12，6 D12，6(2)2022重庆模拟预测已知曲线C：ysin (x)0，0，0)中参数的值(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则MAB，mAB，解得BM+m2，AM-m2.(2)T定：由周期的求解公式T2，可得2T.(3)特殊点定：代入特殊点求，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势提醒在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是
4、相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向对点训练1.2021全国甲卷已知函数f(x)2cos (x)的部分图象如图所示，则f2_22022四川南充二模函数f(x)A sin (2x)2，A0的部分图象如图所示，f(0)3，则()A.f(x)关于点12，0对称Bf(x)关于直线x3对称Cf(x)在12，712上单调递减Df(x)在3，56上单调递增考点三三角函数的性质及应用类比对应，寻找“源”头，整体代换1三角函数的单调区间ysin x的单调递增区间是_(kZ)，单调递减区间是_(kZ)；ycos x的单调递增区间是_(kZ)，单调递减区间是
5、_(kZ)；ytan x的单调递增区间是_(kZ)2三角函数的奇偶性与对称性(1)yA sin (x)，当_(kZ)时为奇函数；当_(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk2(kZ)求得；(2)yA cos (x)，当_(kZ)时为奇函数；当_(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得；(3)yA tan (x)，当k(kZ)时为奇函数角度1单调性为主例 3 2022北京卷已知函数f(x)cos2xsin2x，则()Af(x)在-2，-6上单调递减Bf(x)在-4，12上单调递增Cf(x)在0，3上单调递减Df(x)在4，712上单调递增归纳总结判断三角函数单调性的方法技巧(1)代换法：
6、求形如yA sin(x)(或yA cos (x)(A，为常数，A0，0)的单调区间时，令xz，则yA sin z(或yA cos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间(3)导数法：利用导数与单调性之间的关系角度2周期性、奇偶性、对称性为主例 42022新疆昌吉测试已知函数f(x)sin x3cos x，则下列关于函数yfx+3的描述错误的是()A奇函数B最小正周期为C其图象关于点(，0)对称D其图象关于直线x2对称归纳总结1判断对称中心与对称轴的方法利用函数yA sin (x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性
7、质，通过检验f(x0)的值进行判断2求三角函数周期的常用结论(1)yA sin (x)和yA cos (x)的最小正周期为2，ytan (x)的最小正周期为；(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期对点训练1.2021新高考卷下列区间中，函数f(x)7sin x-6的单调递增区间是()A0，2 B2，C，32 D32，222022陕西商洛一模已知直线x6是函数f(x)sin x+6(08)的图象的一条对称轴，则f(x)的最小正周期为()A4 B2C D232022内蒙古
8、包头一模函数f(x)2sin x42cos x4的最小正周期和最大值分别是()A4和2 B4和22C8和22 D8和2考点四三角函数与其他知识的交汇问题交汇创新画图象，用性质三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇例 5 (1)设集合My|y|cos2xsin2x|，xR，Nxx-1i2，i为虚数单位，xR，则MN为()A(0，1) B(0，1C0，1) D0，1(2)已知函数f(x)sin x若存在x1，x2，xm满足0x1x2xm6，且|f(x1)f
9、(x2)|f(x2)f(x3)|f(xm1)f(xm)|12(m2，mN*)，则m的最小值为_归纳总结解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质本例(1)是三角函数与复数的交汇，本例(2)是绝对值不等式与三角函数的最值问题，利用放缩法解决对点训练设an1nsin n25，Sna1a2an，在S1，S2，S100中，正数的个数是()A25 B50C75 D100第1讲三角函数的图象与性质考点一1yxyx2sin2cos2tan例1解析：(1)tan -38m34，m12，故选A.(2)原式cos-2sin-sin+cos1-2tan-tan+11-4-2+13.故选A.答案
10、：(1)A(2)A对点训练1解析：由题意知，cos 45，所以cos 22cos21725.故选C.答案：C2解析：将式子进行齐次化处理得：sin1+sin2sin+cossinsin2+cos2+2sincossin+cossin sin+cossinsin+cossin2+cos2tan2+tan1+tan24-21+425.故选C.答案：C考点二例2解析：(1)由图象可知T423-3，T42，12，所以f(x)sin 12x-，f23sin 3-1，32k2，2k6(kZ)，由于|2，所以6.故选C.(2)因为ysin (x)函数过点0，12，即sin 12，又|2，所以6，即ysin
11、x+6，又函数过点512，0，根据五点作图法可知5126，解得2，所以ysin 2x+6sin 2x-3+2cos 2x-3，由ycos x向右平移3个单位长度得到ycos x-3，再将ycos x-3各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到ycos 2x-3，即ysin 2x+6.故选A.答案：(1)C(2)A对点训练1解析：方法一(五点作图法)由题图可知34T1312-334(T为f(x)的最小正周期)，即T，所以2，即2，故f(x)2cos (2x).点3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，故232，得6，即f(x)2cos 2x-6，所以f22cos 22-63.方法二(代点法
12、)由题意知，34T1312-334(T为f(x)的最小正周期)，所以T，2，即2.又因为点3，0在函数f(x)的图象上，所以2cos 23+0，所以232k(kZ)，令k0，则6，所以f(x)2cos 2x-6，所以f22cos 22-62cos 63.方法三(平移法)由题意知，34T1312-334(T为f(x)的最小正周期)，所以T，2，即2.函数y2cos 2x的图象与x轴的一个交点是4，0，对应函数f(x)2cos (2x)的图象与x轴的一个交点是3，0，所以f(x)2cos (2x)的图象是由y2cos 2x的图象向右平移3-412个单位长度得到的，所以f(x)2cos (2x)2c
13、os 2x-122cos 2x-6，所以f22cos 22-62cos 63.答案：32解析：由图可知A2，且f(0)3，所以f(0)2sin 3，即sin 32，因为|2，所以3，即f(x)2sin 2x+3，因为f122sin 212+32sin 22，所以函数f(x)关于直线x12对称，故A错误；f32sin 23+32sin 0，所以函数f(x)关于3，0对称，故B错误；对于C：由12x712，所以22x332，因为ysin x在2，32上单调递减，所以f(x)2sin 2x+3在12，712上单调递减，故C正确；对于D：由3x56，则2x32，因为ysin x在(，2)上不单调，所以
14、f(x)2sin 2x+3在3，56上不单调，故D错误故选C.答案：C考点三1. 2k-2，2k+2 2k+2，2k+322k，2k2k，2k(k-2,k2)2（1）kk2（2）k2k例3解析：f(x)cos2xsin2xcos2x.令2k2x2k，kZ，解得kx2k，kZ，故f(x)的减区间为k，2k，kZ.令k0，则0，2为f(x)的一个减区间因为(0，3)0，2，所以f(x)在(0，3)上单调递减故选C.答案：C例4解析：因为f(x)sin x3cos x2sin x-3，所以fx+32sin x，最小正周期为2，故B错误；fx+32sin x显然为奇函数，其图象关于点(，0)对称且关于
15、直线x2对称，所以其它选项均正确故选B.答案：B对点训练1解析：因为函数ysin x的单调递增区间为2k-2，2k+2kZ，对于函数fx7sin x-6，由2k2x62k2kZ，解得2k3x2k23kZ，取k0，可得函数fx的一个单调递增区间为-3，23，则0，2-3，23，2，-3，23，A选项满足条件，B不满足条件；取k1，可得函数fx的一个单调递增区间为53，83，32-3，23且，3253，83，32，253，83，CD选项均不满足条件故选A.答案：A2解析：因为sin 6+61，所以6+62k，kZ，解得6k2，kZ，又08，所以2，从而f(x)的最小正周期为T2.故选C.答案：C3解析：因为f(x)2sin x42cos x422sin x4+4，所以函数f(x)的最小正周期为2148；又sin x4+41，1，所以22sin x4+422，22，所以函数f(x)的最大值为22.故选C.答案：C考点四例5解析：(1)y|cos2xsin2x|cos2x|0，1，所以M0，1.因为x-1i2，所以|xi|2，即x212.又因为xR，所以1x0，当26n49时，an0；当76n99时，an0.答案：D