1、2.5.2圆与圆的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.两圆x2+y2-2x-2y=0和x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是()A.x+y+3=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.2x-y-1=0解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.答案C2.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则()A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8C.E=-4,F=-8D.E=4,F=8解析联立x2+y2-2x+F=0,x2+y2
2、+2x+Ey-4=0,-可得4x+Ey-F-4=0,即x+E4y-F+44=0,由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,得E4=-1,-F+44=1,解得E=-4,F=-8.答案C3.已知两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c的值为()A.-1B.1C.3D.0解析由题意知,直线x-y+c=0为线段AB的垂直平分线,且AB的中点1+m2,1在直线x-y+c=0上,1+m2-1+c=0,m+2c=1.答案B4.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为()A.
3、23B.94C.32D.62解析由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1.圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得aba+b22=94,当且仅当a=b=32时,等号成立.故选B.答案B5.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是.解析两圆的连心线的长为d=a2+b2.两圆相外离,d2+1,a2+b23+22.答案a2+b2
4、3+226.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析点A(a,b)在圆x2+y2=4上,a2+b2=4.又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则|C1C2|=a2+b2=4=2,|C1C2|=r1+r2.两圆外切.答案外切7.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为25的圆的方程.解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线
5、为x-y-3=0,由y=-2xx-y-3=0求得x=1,y=-2.即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=2,所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为5,故两圆连心线斜率k=4-22-1=2.设所求圆心为(a,b),所以(a-1)2+(b-2)2=35,4-b2-a=2,解得a=4,b=8,或a=-2,b=-4.(舍去)所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.关键能力提升练8.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25B
6、.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有(x-5)2+(y+7)2=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有(x-5)2+(y+7)2=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.答案D9.已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r0)上存在点P(不同于M,N),使得PMPN,则实数r的取值范围是()A.(1,5)B.1,5C.(1,3)D.1,3解析由PMPN得,
7、点P在以MN为直径的圆上(不同于M,N),以MN为直径的圆的方程为x2+y2=4.由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r0),所以两圆的圆心距d=3,依题意得,|r-2|3r+2,解得1r2+4,即(a-2)235,设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,则|2k-3|k2+1=2,解得k=512,则与圆C2相切的直线l2的斜率k=-1k=-125,直线l2的方程为y=-125x,即12x+5y=0,所以|12a+20|122+52=4,解得a=-6或a=83,结合(a-2)235可知a=-6,故选C.答案C11.已知点P(t,t-1),tR,点E是圆O:x2+y2=
8、14上的动点,点F是圆C:(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为()A.2B.52C.3D.4解析易得点P(t,t-1)在直线x-y-1=0上.设圆O关于直线x-y-1=0对称的圆为圆C1,则C1:(x-1)2+(y+1)2=14.由几何知识知,当F,E1,P共线时,|PF|-|PE|=|PF|-|PE1|=|E1F|=|C1C|+12+32=4.故选D.答案D12.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是()A.(x+2)2+(y+2)2=9B.(x-2)2+(y+2)2=9C.(x-2)2+(y-2)2=25D.(x-2)2+(y+
9、2)2=49解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2.A项,圆心C1(-2,-2),半径r1=3,|C1C|=17(r1-r,r1+r),两圆相交;B项,圆心C2(2,-2),半径r2=3,|C2C|=5=r+r2,两圆外切,满足条件;C项,圆心C3(2,2),半径r3=5,|C3C|=3=r3-r,两圆内切;D项,圆心C4(2,-2),半径r4=7,|C4C|=5=r4-r,两圆内切.答案BCD13.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是()A.-16B.-9C.11D.12解析
10、化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k-25,圆心坐标为(3,4),半径为25+k;圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|25+k+1或|C1C2|25+k+1或525+k-1,解得-25k11.实数k的取值范围是(-25,-9)(11,+).满足这一范围的有A和D.答案AD14.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点.解析圆C:x2+y2=1的圆心坐标
11、为C(0,0),则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,12,半径为r=1222+12=52.可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-122=54,即x2+y2-2x-y=0,两圆的方程相减可得直线AB的方程2x+y-1=0.因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,所以CAPA,CBPB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为x-(2-m)2+y-m22=(2-m)2+m24,又由圆C的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,可得14,12满足上式,即AB过定
12、点14,12.答案2x+y-1=014,1215.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,bR且ab0,则1a2+1b2的最小值为.解析由题意知两圆内切,根据两圆分别为C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0,得圆心分别为(-2a,0)和(0,b),半径分别为2和1,故有4a2+b2=1,所以4a2+b2=1,所以1a2+1b2=1a2+1b2(4a2+b2)=5+b2a2+4a2b25+2b2a24a2b2=9,当且仅当b2a2=4a2b2,即b2=2a2=13时,等号成立.所以1
13、a2+1b2的最小值为9.答案916.在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.解(1)由y=2x-4,y=x-1,得圆心C(3,2).圆C的半径为1,圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.过点A作圆C的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,|3k-2+3|k2+1=1,|3k+1|=k2+1,2k(4k+3)=0,k=0或k=-34,所求圆C的
14、切线方程为y-3=0或3x+4y-12=0.(2)圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,设圆心C(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又|MA|=2|MO|,设M(x,y),则x2+(y-3)2=2x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,2-1a2+(2a-4)-(-1)22+1,解得0a125,所以a的取值范围为0,125.学科素养创新练17.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径.(2)满足已知条件的
15、圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=|a-2a+1|12+12=|a-1|2,两圆的圆心距为(a-1)2+(2a-2)2=5|a-1|=10r,因为两圆外切,所以10r=r+9,r=10+1.(2)有.如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),若斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=|a-1|2,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),则d=|ka-2a+2-k|1+k2=r=|a-1|2对任意的a都成立,|(k-2)(a-1)|1+k2=|a-1|2,|k-2|1+k2=12,两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,当k=1时,直线与l1重合,当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.
