1、湖南师大附中高二年级数学2013年期中考试文 科 试 题 卷考查范围：必修5第三章、选修1-1第一、二章时量：120分钟满 分：100 分（必考试卷） 50分（必考试卷）命题人：黄祖军 王朝霞 必考试卷一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、若，则下列不等式正确的是（ ）A B CD答案B.解析：根据不等式的性质可知，答案选B.2.不等式的解集为，函数的定义域为，则为（ ）A BCD 答案A.解析：不等式的解集为，函数的定义域为，故答案为A.3.设变量x，y满足约束条件 目标函数，则有（ ）A.有最大值无最小值 B. 有最小
2、值无最大值C. 的最小值是8 D. 的最大值是10答案D.解析：先做出可行域，如图所示，当目标函数过直线y=1与x+y=3 的交点（2，1）时z取得最大值10. 答案为D.4.以下命题：，。其中正确的个数是（ ）A.0 B. 1 C.2 D. 3答案C.解析：式在的条件下才成立，故错；式，故正确；，故正确；，故错。答案选C.5.下列命题为真命题的是（ ）A. 是的充分条件 B. 是的充要条件C. 是的充分条件 D. 是的必要不充分条件答案 B6.已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 答案：C7.已知椭圆中心在原点，坐标轴为对称轴，离心率是，过点,则椭圆的方程是(
3、)A. B. 或C. D. 或答案.D二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8. 已知，方程表示双曲线，则是的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）9.下列命题中：命题“若，则且”的逆否命题是真命题；命题“是周期函数”的否定是“不是周期函数”；如果为真命题，则也一定是真命题； 已知，则其中正确的有 （填序号）解析： 10.已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题恒成立. 若为假命题，则实数的取值范围是 .答案，解：命题真时，则假时，；命题真时，命题假时，若为假命题，则假假，故实数的取值范围是.11.已知双曲线
4、与双曲线有相同的渐近线，且过点，则双曲线的标准方程是 .答案，解析：设的方程是，又过点，则，即的方程是.12.已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程是 . 答案，解析：用相关点代入法求解得13.已知椭圆，圆与椭圆恰有两个公共点，则椭圆的离心率的取值范围是 .答案，解析：据题意有，三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14（本小题满分11分）已知椭圆，、是其左右焦点， 其离心率是，是椭圆上一点，的周长是.（1） 求椭圆的方程；（2） 试对讨论直线与该椭圆的公共点的个数.解（1）设椭圆的焦距是，据题意则有， 故椭圆的方程是.5分
5、（2） 联立的方程组，整理得：其判别式 .8分当即或时，直线与椭圆无公共点；当即时，直线与椭圆恰有一个公共点；当即时，直线与椭圆恰有两个不同公共点. 11分15（本小题满分12分）已知函数满足，（1） 求的最小值及此时与的值；（2）对于任意, 恒有成立.求的取值范围解析：（1）由可知且3分，当且仅当时取等号.即当时有最小值 6分（2）又因为对恒成立, 即恒成立,即对恒成立, 8分故10分解之得：，则12分16（本小题满分12分）已知双曲线，、是双曲线的左右顶点，是双曲线上除两顶点外的一点，直线与直线的斜率之积是，（1） 求双曲线的离心率；（2） 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是，求双曲线的方程
6、.解（1）因为在双曲线上，则3分又，则.5分及，解之得； 7分（2）取右焦点，一条渐近线即， 据题意有，10分由（1）知，11分故双曲线的方程是 12分必考试卷一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知是抛物线上的一个动点，到直线的距离是，到直线的距离是，则的最小值是（ ）A B C D不存在C，解析：直线恰是抛物线的准线，则等于到抛物线的焦点的距离，则的最小值就是焦点到直线的距离二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.已知过椭圆E:的焦点的弦的中点M的坐标是，则椭圆E的方
7、程是 .解析：（1）法一：设，据题意有： 又相减得：而，而，解得：即椭圆方程是： 法二：直线的方程是：联立，解得：三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2mABEFCD3.（本小题满分13分）围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地ABCD的一面利用旧墙EF（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为,新墙的造价为,设利用的旧墙的长度为(单位：)。（1）将总费用表示为的函数： （2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为 2分所以
8、4分 6分（2）解： 10分当且仅当时，等号成立. 12即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。13分4.（本小题满分13分）已知椭圆，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于点、，定直线交轴于点，直线和直线的斜率分别是、.（1）若直线的倾斜角是，求线段的长；（2）求证：.解（1）直线的方程是，代入椭圆方程整理得： 设，则.2分或.5分（2）当轴时，由椭圆的对称性易知；.6分当不与轴垂直时，设其方程是：代入椭圆方程整理得：，易知其判别式恒成立，设，则.9分而则.10分 即综上总有.13分 （也可设的方程是化为关于的方程解；还可用椭圆的第二定义及几何知识证明平分，略）5. （本小题满分14分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；（2）证明：抛物线在点处的切线与直线平行；（3）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由解（1）将化为，则焦点坐标是，准线方程是2分xAy112MNBO（2）如图，设，把代入得，由韦达定理得，.4分，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，.5分将代入上式得，直线与抛物线相切，即 .8分（3）假设存在实数，使，则，又是的中点， .9分由（）知 轴，.11分又 .13分，解得即存在，使.14分或设，由（2）有，即 .10分 即解之得：，故 .14分