1、4.2.2 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 若两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆有以下位置关系:位置关系公共点 个数圆心距与半径 的关系图示两圆外离0个dr1+r2 两圆内含d|r1-r2|位置关系公共点 个数圆心距与半径的关系图示两圆相交2个|r1-r2|d r1+r2两圆内切1个d=|r1-r2|两圆外切d=r1+r2 【思考】(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,公切线的条数分别是多少?提示:公切线的条数分别是4,3,2,1,0.(2)当两圆相交、外切、内切时,连心线有什么性质?提示:当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时,连心线垂直于过两圆公共点的公切线
2、;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若两圆有唯一的公共点,则两圆外切.()(2)若两圆没有公切线,则两圆内含.()(3)若两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,当d|r1-r2|时,两圆相交.()提示:(1).两圆也可能内切.(2).只有两圆内含时,两圆才没有公切线.(3).当d1),若两圆相交,则r的取值范围是_.【解析】因为圆心距d=|O1O2|=2,且两圆相交,所以r-1dr+1,即r-12r+1,所以1r3.答案:1r3 类型一 两圆位置关系的判定【典例】1.(2019重庆高一检测)已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=
3、0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2的位置关系是()A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 2.(2019青岛高一检测)圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为()A.0 B.3 C.2 D.1【思维引】1.将两圆方程变为标准形式,利用圆心距与半径的关系判断.2.判断两圆的位置关系后得出交点个数.【解析】1.选B.圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,即(x+2)2+(y+1)2=6,圆心为C1(-2,-1),半径为 .圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0即(x+1)2+(y+4)2=25,圆心为C2(-1,-4),半径为 5.所以两圆的圆
4、心距d=因为 故两个圆相交.6222 11410 ，5610 56，2.选D.因为圆B:(x-2)2+y2=1,其圆心为B(2,0),半径为1,圆A的圆心为A(0,0),半径为1,所以圆心距为|AB|=2,半径之和为1+1=2,所以两圆外切,只有一个公共点.【内化悟】判断两圆位置关系需要计算哪些量?提示:准确得出两圆的圆心、半径,计算出圆心距.【类题通】几何法判断圆与圆的位置关系的步骤(1)将两圆的方程化为标准方程.(2)求两圆的圆心坐标和半径r1,r2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系,从而判断两圆的位置关系.【习练破】圆C1:(x+1)2+(y+2
5、)2=4与圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9有几条公切线()A.0 B.2 C.3 D.4【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4的圆心C1(-1,-2),半径r1=2,圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9的圆心C2(1,-1),半径r2=3,|C1C2|=所以|r1-r2|C1C2|0).(1)R为何值时,圆C1与圆C2外切.(2)在(1)的条件下,设切点为P,过P作直线l与圆C1相交 于E点,若|PE|=,求直线l的方程.2【解析】(1)由已知圆的方程可得:C1(0,0),C2(4,4),则|C1C2|=4 =R+1,所以R=4 -1.(2)因为C1(0,0),C2(4,
6、4),所以P为直线C1C2与圆C1的交 点在第一象限.联立 得P 当直线斜率 存在时,设直线l的斜率为k,所以l:kx-y+(1-k)=0,2222yx,xy1,22(,)22 22则圆心C1到直线l的距离d=解 得:k=0,此时直线方程为y=.当直线斜率不存在时直 线方程为x=也满足条件,故所求直线l的方程为y=或x=.22222|k|2221()21k，22222222【加练固】已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.(1)求圆C1的方程.(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦MN的长.【解析】(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线方程为 即y=x-1.由题意可得,圆心在直线y=3上,联立 解得圆心坐标为(4,3),故圆C1的半径为 4,则圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.y 1x23 122 ，y3,yx1,(2)因为圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,两式作差可得两圆公共 弦所在直线方程为2x+3y-4=0.圆C1的圆心到直线2x+3y -4=0的距离d=所以两圆的公共弦MN的长 为 228941323 2 16 13 2 3