1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.把区间a,b(a0)在曲线y=x2上,若阴影部分的面积与OAP的面积相等,则x0=.解析S阴影=x2dx=x3,又S阴影=SAOP,x0.x0=.答案16.由曲线y=,直线x=1及x轴所围成的封闭图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为.解析y=与x=1相交于点(1,1),则所求旋转体的体积为xdx=x2.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)利用定积分的几何意义,求:f(x)d
2、x+sin xcos xdx,其中f(x)=解f(x)dx+sin xcos xdx= (3x-1)dx+(2x-1)dx+sin xcos xdx.y=sin xcos x为奇函数,sin xcos xdx=0.利用定积分的几何意义,如图.(3x-1)dx=-2=-8,(2x-1)dx=3-1=2.f(x)dx+sin xcos xdx=-6.18.(本小题满分12分)已知 dx=3+ln 2(ab1),求实数a,b的值.解dx=(x2+ln x)=a2+ln a-b2-ln b=(a2-b2)+ln=3+ln 2.解得19.(本小题满分12分)一个物体做变速直线运动,速度v(ms-1)与时
3、间t(s)的关系如图所示,求该物体在s至6 s间运动的路程.解由题意可知物体的速度函数为v(t)=由变速直线运动的路程公式,可得s=v(t)dt=2tdt+2dt+dt=t2+2t(m).物体在s至6 s间的运动路程为m.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图像如图,直线y=0在原点处与函数图像相切,且此切线与函数图像所围成的区域(阴影)面积为.(1)求f(x)的解析式;(2)若常数m0,求函数f(x)在区间-m,m上的最大值.解(1)由f(0)=0得c=0,f(x)=3x2+2ax+b.由f(0)=0得b=0,f(x)=x3+ax2=x2(x+a),则易知a0
4、,图中所围成的区域(阴影)面积为-f(x)dx=-x2(x+a)dx=a4=,解得a=-3,f(x)=x3-3x2.(2)由(1)知f(x)=3x2-6x=3x(x-2).x,f(x),f(x)的取值变化情况如下:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值f(0)=0单调递减极小值f(2)=-4单调递增又f(3)=0,故当03时,f(x)max=f(m)=m3-3m2.综上可知,当03时,f(x)max=f(m)=m3-3m2.21.(本小题满分12分)用定积分表示曲线y=x2,x=k,x=k+2及y=0所围成的图形的面积,并确定k取何值时,使所围图形的面积为
5、最小.解在平面直角坐标系中作出题中所述曲线与直线围成图形如图中阴影所示,设其面积为S,则S=x2dx=(3k2+6k+4)=2=2(k+1)2+.故当k=-1时,S最小.22.(本小题满分12分)设f(x)是二次函数,其图像过点(0,1),且在点(-2,f(-2)处的切线方程为2x+y+3=0.(1)求f(x)的表达式;(2)求f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积;(3)若直线x=-t(0t1)把f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.解(1)设f(x)=ax2+bx+c,其图像过点(0,1),c=1.又图像在点(-2,f(-2)处的切线方程为2x+y+3=0,f (x)=2ax+b,a=1,b=2.故f(x)=x2+2x+1.(2)依题意,f(x)的图像与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示,故所求面积S=(x2+2x+1)dx=.(3)依题意,有S= (x2+2x+1)dx=,即t3-t2+t=,2t3-6t2+6t-1=0.2(t-1)3=-1.t=1-.
