1、第一章数列2等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.在等差数列an中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于()A.3B.-6C.4D.-3答案B解析由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d=-20-105=-6.2.在等差数列an中,已知a4=2,a8=14,则a15等于()A.32B.-32C.35D.-35答案C解析由a8-a4=(8-4)d=4d=14-2=12,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+73=35.3.等差数列an中,a4+a5=15,a7=12,则a2等于()A.3B.-3C.3
2、2D.-32答案A解析由数列的性质,得a4+a5=a2+a7,所以a2=15-12=3.4.已知数列an为等差数列,a3=6,a9=18,则公差d为()A.1B.3C.2D.4答案C解析因为数列an为等差数列,所以a9=a3+6d,即18=6+6d,所以d=2.5.在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于()A.45B.75C.180D.300答案C解析a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450,a5=90.a2+a8=2a5=180.6.若某运动会的第一届于1896年举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照
3、算,那么2020年举行的该运动会的届数是()A.第30届B.第31届C.第32届D.第33届答案C解析依题意知举行该运动会的年份构成以1896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1896+4(n-1),令2020=1896+4(n-1),解得n=32.7.在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.答案20解析a3+a8=10,a3+a3+a8+a8=20.3+3+8+8=5+5+5+7,a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7,即3a5+a7=2(a3+a8)=20.8.已知数列an为等差数列且a1+a7+a13=4,则tan(a2+a12)的值为.答案-3解析由
4、等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4,a7=43.tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan83=tan23=-3.9.若数列an是等差数列,a15=8,a60=20,则a75的值为.答案24解析an是等差数列,a15,a30,a45,a60,a75成等差数列.设其公差为D,则a60=a15+3D,即D=4,故a75=a15+4D=8+44=24.10.在等差数列an中,(1)若a2+a4+a6+a8+a10=80,求a7-12a8;(2)已知a1+2a8+a15=96,求2a9-a10.解(1)a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,a6=16,a7-12a8=12(2
5、a7-a8)=12(a6+a8-a8)=12a6=8.(2)a1+2a8+a15=4a8=96,a8=24.2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.关键能力提升练11.已知数列ann是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于()A.12B.24C.16D.32答案A解析令bn=ann,由题意可知b3=a33=23,b15=a1515=2,则等差数列bn的公差d=b15-b315-3=19,则b9=b3+(9-3)d=43,所以a9=9b9=12,故选A.12.设公差为-2的等差数列an,如果a1+a4+a7+a97=50,那么a3+a6+a9+a99等于()A.-182B.-7
6、8C.-148D.-82答案D解析a3+a6+a9+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+(a97+2d)=(a1+a4+a97)+2d33=50+2(-2)33=-82.13.已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为()A.12B.8C.6D.4答案B解析由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,a8=8,又d0,m=8.14.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为()A.0B.1C.2D.1或2答案D解析
7、a,b,c成等差数列,2b=a+c,=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20.二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.15.已知an是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13的值为()A.105B.120C.90D.75答案A解析由a1+a2+a3=15,得a2=5,所以a1+a3=10.又a1a2a3=80,所以a1a3=16,所以a1=2,a3=8或a1=8,a3=2.又等差数列an的公差为正数,所以an是递增数列,所以a1=2,a3=8,所以等差数列an的公差d=a2-a1=5-2=3,所以a11+a1
8、2+a13=3a12=3(a1+11d)=105.16.如果在等差数列an中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+a9等于()A.21B.30C.35D.40答案C解析a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,所以a6=5.所以a3+a4+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.17.若在等差数列an中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则a6+a7+a8等于()A.34B.35C.36D.37答案C解析由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.a3+a11=a
9、10+a4,a7=12.a6+a7+a8=3a7=36.18.在等差数列an中,已知a1,a4为方程2x2-5x+2=0的两根,则a2+a3=.答案52解析a1,a4为方程2x2-5x+2=0的两根,a1+a4=52.又an为等差数列,a1+a4=a2+a3.a2+a3=52.19.已知在数列an中,a3=3,a7=1,又数列1an+1是等差数列,则an=.答案15-nn+1解析1an+1是等差数列,设bn=1an+1,则b3=13+1=14,b7=11+1=12.公差d=b7-b37-3=12-144=116.bn=b3+116(n-3)=14+n16-316=n+116.1an+1=n+1
10、16.an+1=16n+1,an=16n+1-1=15-nn+1.20.已知an为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.(1)求a20的值;(2)若bn=32an-412,试判断数列bn从哪一项开始大于0.解(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2,所以a20=a3+17d=40.(2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)2=2n,所以bn=322n-412=3n-412.由bn0,即3n-4120,得n416,所以数列bn从第7项开始大于0.学科素养创新练21.已知两个等差数列an=5,8,11,与bn
11、=3,7,11,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?解因为an=3n+2(nN+),bk=4k-1(kN+),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,所以n=43k-1.而nN+,kN+,所以设k=3r(rN+),得n=4r-1.由已知13r100,14r-1100,且rN+,可得1r25.所以共有25个相同数值的项.22.有一批电视机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所购买各台的单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购
12、买一批此类电视机,则去哪一家商场购买花费较少?解设某单位需购买电视机n台.在甲商场购买时,所买电视机的售价构成等差数列an,an=780+(n-1)(-20)=-20n+800,由an=-20n+800440,得n18,即购买台数不超过18台时,每台售价(800-20n)元;购买台数超过18台时,每台售价440元.到乙商场购买时,每台售价为80075%=600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800-20n)n-600n=20n(10-n).当n600n,到乙商场购买花费较少;当n=10时,(800-20n)n=600n,到甲、乙商场购买花费相同;当10n18时,(800-20n)n18时,440n600n,到甲商场购买花费较少.因此,当购买电视机台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买电视机10台时,到两家商场购买花费相同;当购买电视机台数多于10台时,到甲商场购买花费较少.