1、模块卷(一)时间:120 分钟 分值:150 分 三角函数、向量、数列 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020 贵州贵阳一中 9 月月考,5)在等差数列an中,an0(nN*),角 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点(a2,a1+a3),则sin+2cossin-cos=()A.5 B.4 C.3 D.2 答案 B 由三角函数定义可知,tan=1+32,又知数列an为等差数列,an0,a1+a3=2a2,tan=2,则sin+2cossin-cos=tan+2tan-1=2+22-1
2、=4.2.(2020 广东佛山一中 9 月月考,8)已知,为锐角,且 tan=17,cos(+)=255,则 cos2=()A.35 B.25 C.45 D.7210 答案 C,(0,2),+(0,).cos(+)=255,sin(+)=55.tan=17,sin=210,cos=7210.cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=255 7210+55 210=31010,cos2=2cos2-1=2 910-1=45,故选 C.3.(2019 湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)将函数 f(x)的图象向右平移6个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的2
3、3,得到函数 g(x)=Asin(x+)(0,0,|0,=2=3.则 g(x)=2sin(3x+),又由g(29)=2 可得 2sin(3 29+)=2,则23+=2k+2,kZ,=-6+2k,kZ,而|2,=-6.g(x)=2sin(3-6),f(x)=2sin(2+6).f(x)的最小正周期为,选项 A,C 错误.对于选项 B,令 2x+6=k(kZ),所以 x=2-12,kZ,所以函数 f(x)图象的对称中心为(2-12,0)(kZ),所以选项B 是错误的.当 x6,3时,2x+62,56,所以 f(x)在6,3上是减函数,所以选项 D 正确.故选 D.4.(2018 千校联盟 12 月
4、模拟,10)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 c=b(cosA+cosB),则ABC 为()A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 D 由正弦定理得 sinC=sinB(cosA+cosB),即 sin(A+B)=sinB(cosA+cosB),也即sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinBcosB,所以(sinA-sinB)cosB=0,所以 cosB=0 或 sinA=sinB,所以 B=2或 A=B.故ABC 为直角三角形或等腰三角形,故选 D.5.(2019 山东济宁模拟,8)设数列an满足 a
5、1=1,a2=2,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2 且 nN*),则 a18=()A.259 B.269 C.3 D.289 答案 B 令 bn=nan,则由 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2 且 nN*),得 2bn=bn-1+bn+1(n2 且 nN*),数列bn构成以 1 为首项,以 2a2-a1=3 为公差的等差数列,则 bn=1+3(n-1)=3n-2,即 nan=3n-2,an=3-2,a18=318-218=269.故选 B.6.(2020 九师联盟,6)已知an是正项等比数列,bn是等差数列,且 a4=b5,则()A.a2+a6b
6、3+b7 B.a2+a6b3+b7 C.a2+a6b3+b7 D.a2+a6=b3+b7 答案 A an是正项等比数列,bn是等差数列,a4=b5,由基本不等式可得,a2+a6226=242=2a4=2b5=b3+b7,故选 A.解题关键 利用基本不等式得到 a2+a6226是解答本题的关键.7.(2019 湖南衡阳第八中学第二次月考,10)在等差数列an中,a1=21,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8时,Sn取得最大值,则 d 的取值范围是()A.-3,-218)B.(-72,-3)C.(-3,-218)D.-72,-3)答案 C 根据题意,知 Sn=21n+(-1)2.当
7、且仅当 n=8 时,Sn取得最大值,7 8,9 8,则147+21 168+28,189+36 -3,|2+|2,cosC0,2C,ABC 是钝角三角形.故选 B.11.(2020 河南尖子生 8 月联考,10)当 x0,2时,不等式 msinx(cosx-3sinx)+32 m+2 恒成立,则实数 m 的取值范围为()A.(-12,-14)B.-1,-32 C.(-32,-12)D.(-1,-32)答案 D 设 f(x)=sinx(cosx-3sinx)+32,则f(x)=sinxcosx-3sin2x+32=12sin2x-31-cos22+32=12sin2x+32 cos2x=sin(
8、2+3).x0,2,2x+33,43,sin(2+3)-32,1.由题意知 mf(x)m+2 在 x0,2上恒成立,即 ()max-2,-1,实数 m 的取值范围为(-1,-32),故选 D.12.(2019 浙江温州普通高中适应性测试,10)已知数列an中的各项都小于 1,a1=12,+12-2an+1=2-an(nN*),记Sn=a1+a2+a3+an,则 S10的取值范围为()A.(0,12)B.(12,34)C.(34,1)D.(1,2)答案 B+12-2an+1=2-an,+1=-1+1-20,an,an+1同号,又 a1=12,an0,S10=(2a10-a9)+(2a9-a8)+
9、(2a2-a1)+2a1-a10=(102-92)+(92-82)+(22-12)+2a1-a10=102-12+2a1-a10=(10-12)2+12,又a10(0,1),S10(12,34),故选 B.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.(2019 山东烟台调研,14)在ABC 中,点 M,N 满足=2,=,若=x+y,则 x+y=.答案 13 解析 =+=13 +12 =13 +12(-)=12 -16 ,又=x+y,所以 x=12,y=-16,故 x+y=12-16=13.14.(2020 四川南充高级中学摸底,14)函数 y=cos(x+10)+cos(
10、x+70)的最小值是 .答案-3 解析 y=cos(x+10)+cos(x+10)+60=cos(x+10)+cos(x+10)cos60-sin(x+10)sin60=cos(x+10)+12cos(x+10)-32 sin(x+10)=32cos(x+10)-32 sin(x+10)=3sin60-(x+10)=3sin(50-x)=-3sin(x-50).xR,当 x=140+k360(kZ)时,函数取得最小值-3.15.已知点 A,B,C 满足|=3,|=4,|=5,则 +的值为 .答案-25 解析 解法一(定义法):由题意可知ABC 为直角三角形,且B=2,cosA=35,cosC=
11、45.+=+=45cos(-C)+53cos(-A)=-20cosC-15cosA=-2045-1535=-25.解法二(坐标法):易知ABC=90.如图,建立平面直角坐标系,则 A(3,0),B(0,0),C(0,4).=(-3,0),=(0,4),=(3,-4),=-30+04=0,=03+4(-4)=-16,=-33+0(-4)=-9.+=-25.解法三(几何意义法):易知ABC=90.在 方向上的投影为数量-|,在 方向上的投影为数量-|,因此 =-2=-16,=-2=-9,=0,+=-25.解法四(性质法):易知ABC=90.+=0+(+)=-|2=-25.解法五(平方法):+=0,
12、(+)2=0,2+2+2+2 +2 +2 =0.+=-12(2+2+2)=-25.16.(2019 湖南郴州第二次教学质量监测,16)已知数列an和bn满足 a1a2a3an=2(nN*),若数列an为等比数列,且 a1=2,a4=16,则数列 1的前 n 项和 Sn=.答案 2+1 解析 an为等比数列,且 a1=2,a4=16,公比 q=413=1623=2,an=2n,a1a2a3an=2122232n=21+2+3+n=2(+1)2.a1a2a3an=2,bn=(+1)2,1=2(+1)=2(1-1+1),1的前 n 项和 Sn=b1+b2+b3+bn=2(11-12+12-13+13
13、-14+1-1+1)=2(1-1+1)=2+1.三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10 分)(2020 西南地区名校联盟 8 月联考,17)已知函数 f(x)=12sin2xcos+sin2xsin+12cos(2+)+12(-2 2),其图象过点(6,1).(1)求 f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的 2 倍,得到 g(x)的图象,求函数 g(x)在0,2上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=12sin2xcos+sin
14、2xsin-12sin+12=12sin2xcos+1-cos22sin-12sin+12=12sin2xcos-12cos2xsin+12=12sin(2x-)+12.f(x)的图象过点(6,1),12sin(3-)+12=1,即 sin(3-)=1,3-=2k+2(kZ),=-2k-6(kZ).-20),则 cos=22+2255=45.(5 分)(2)|=|=2,|=1,设|=x(0 x1),则|=1-x.(8 分)因为+=2,所以 +=(+)=2 =2|cos=2x2-2x=2(-12)2-12.因为 0 x1,所以当且仅当 x=12时,+取最小值-12.(12 分)19.(12 分)
15、(2019 上海浦东二模,18)已知向量 m=(2sinx,cos2x),n=(3cosx,1),其中 0,若函数f(x)=mn 的最小正周期为.(1)求 的值;(2)在ABC 中,若 f(B)=-2,BC=3,sinB=3sinA,求 的值.解析(1)f(x)=mn=3sin2x+cos2x=2sin(2+6),f(x)的最小正周期为,T=22=,=1.(2)设ABC 中角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.f(B)=-2,2sin(2+6)=-2,即 sin(2+6)=-1,解得 B=23.BC=3,a=3,sinB=3sinA,b=3a,b=3,由3sin23=3sin得 sinA
16、=12,0A3,A=6,则 C=6,a=c=3,=cacosB=-32.20.(12 分)(2020 湖北沙市中学第二次周考,7)在锐角ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且满足(2c-a)cosB-bcosA=0.(1)求角 B 的大小;(2)已知 c=2,AC 边上的高 BD=3217,求ABC 的面积 S.解析(1)(2c-a)cosB-bcosA=0,由正弦定理得(2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0,2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA,即 2sinCcosB=sin(A+B)=sinC.C(0,2),sinC0,cosB=12,
17、B(0,2),B=3.(2)S=12acsinABC=12BDb,将 c=2,BD=3217,sinABC=32 代入,得 b=73 a.由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosABC=a2+4-2a.将 b=73 a 代入上式,整理得 a2-9a+18=0,解得 a=3 或 6.当 a=3 时,b=7;当 a=6 时,b=27.又ABC 是锐角三角形,a232(mZ)对 nN*恒成立,求 m 的最大值.解析 本题考查等差数列的概念;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)当 n2 时,an=Sn-Sn-1=nan-2n2+2n-(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1
18、),化简得(n-1)(an-an-1-4)=0,即 an-an-1=4,所以数列an是等差数列,其首项为 1,公差为 4,所以 an=4n-3,Sn=(1+4-3)2=2n2-n.(2)由(1)知=2n-1,所以 S1+22+=1+3+2n-1=n2,令 f(n)=n2+2n,可知 f(n)单调递增,f(10)=102+210=1124,故存在唯一的自然数 n=10 符合要求.(3)由(1)知 cn=2(4+4)=12(1-1+1),所以 Tn=12(1-12)+(12-13)+(1-1+1)=12(1-1+1),注意到 Tn=12(1-1+1)单调递增,所以 TnT1=14,所以3214,解得 m8(mZ).所以 m 的最大值为 7.