1、9.1直线方程与圆的方程专题检测1.(2018浙江金华模拟,4)过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=0答案C当直线经过原点,即横截距与纵截距均为0时,它的方程为y-010-0=x-0-10-0,即x+y=0.当直线不经过原点时,设它的方程为x4a+ya=1,把(-10,10)代入可得-104a+10a=1,求得a=152.此时它的方程为x30+2y15=1,即x+4y-30=0.综上可得,该直线的方程为x+y=0或x+4y-30=0,故选C.2.(2019
2、北京新学道临川学校高二月考,1)圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标和半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),4答案A圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(-1,2),半径r=2.故选A.3.(2019北京延庆一模文,2)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=1B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C圆心(0,1)到直线y=2的距离为圆的半径r=1,所以圆的标准方程是x2+(y-1)2=1. 故选C.4.(2019北京新学道临川学校高二月考,5)方程
3、2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是()A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在答案A本题考查二元二次方程与图形问题,考查学生直观想象能力与运算求解能力,渗透数学运算的核心素养.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,解得x=1,y=-2,方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2),故选A.5.(2020中学生标准学术能力基础性测试,2)已知圆C的方程为2x2+2y2-2x+4y-1=0,则圆C的圆心坐标为()A.(1,2)B.(1,-2)C.12,1D.12,-1答案D本题考查圆的一般方程,
4、考查了学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.由2x2+2y2-2x+4y-1=0得2(x2-x)+2(y2+2y)=1,从而有2x-122+2(y+1)2=72,所以圆C的标准方程为x-122+(y+1)2=74,圆心为12,-1,故选D.方法总结求圆心坐标有两种方法:(1)化标法:将圆的方程化为标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,从而知圆心坐标为(a,b),(2)公式法:圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为-D2,-E2.6.(2018湖北荆州二模,8)圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是()A.2B.-2C.1D.-1答案B圆
5、(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,直线y=kx+3过圆心(1,1),即1=k+3,解得k=-2.故选B.7.(2018安徽安庆模拟,8)设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根,且0c18,则这两条直线间距离的最大值为()A.24B.22C.12D.2答案B因为a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根,所以a+b=-1,ab=c.因为直线x+y+a=0和x+y+b=0之间的距离d=|a-b|2,所以d2=(a+b)2-4ab2=1-4c2,因为0c18,所以121-4c1,所以141-4c212,即d2
6、14,12,所以这两条直线之间的距离的最大值为22.故选B.关键点拨利用a,b是关于x的方程x2+x+c=0的实根得出a+b=-1,ab=c,写出两平行线之间距离的表达式,然后求解即可.8.(2019江西新余五校8月联考,8)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,则当OPQ的面积最大时,直线l的方程为()A.x-y-3=0或7x-y-15=0B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0答案D当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,5),(2,-5),所以SOPQ=
7、12225=25.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2)k12,则圆心到直线PQ的距离d=|1-2k|1+k2,由平面几何知识得|PQ|=29-d2,SOPQ=12|PQ|d=1229-d2d=(9-d2)d29-d2+d222=92,当且仅当9-d2=d2,即d2=92时,SOPQ取得最大值,为92.因为250,4-m0得0m4,则SAOB=m(4-m)2=-(m-2)2+42,则m=2时,SAOB有最大值2,此时直线l的方程为x+y-2=0.13.(2019江苏溧阳中学周考)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;
8、(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解析(1)设B关于l的对称点为B,AB的延长线交l于P0,在l上另任取一点P,则|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|P1C|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即为所求.易知直线AC的方程为19x+17y-93=0,联立19x+17y-93=0,3x-y-1=0,解得P1117,267,即为所求的点.14.(2020皖北期中联考,18)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-3y+3-2=0相切.(1)求圆C的方程;(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程.解析(1)将圆C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-3y+3-2=0相切,圆心(-2,1)到直线x-3y+3-2=0的距离d=|-4|1+3=2=r,圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.(2)圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,可设直线MN的方程为2x-y+c=0,|MN|=23,半径r=2,圆心(-2,1)到直线MN的距离为22-(3)2=1,即|-4-1+c|5=1,解得c=55,直线MN的方程为2x-y+5+5=0或2x-y+5-5=0.