1、高三数学（理科）第 1 页共 2 页树德中学高 2017 级三诊模拟数学（理科）试题一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|230,Ax xxxZ，集合|0Bx x，则集合Z AB 的真子集个数为（）A.3 B.4 C.7 D.82方程22123xymm表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A.30m B.32m C.34m D.13m 3.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置(,)P x y，若初始位置为03 1(,)22P，当秒针从0P（此时0t）正常开始转动时，那么点 P
2、的纵坐标 y 与时间t 的函数关系为（）A.sin()306ytB.sin()306ytC.sin()606ytD.sin()303yt4.已知直线710 xy把圆224xy分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A.2B.23C.D.25.若 x 的取值范围为0,10，给出如图所示的程序框图，输入一个数 x，则输出的y 满足5y 的概率为（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.76.变量,x y 满足430352501xyxyx，则226414xyxy的最大值为（）A.8 B.9 C.64 D.657.某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为1，正视图和
3、俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A.3 222B.73 222C.32 2D.228.已知平面 及直线,a b，则下列说法错误的个数是（）若直线,a b 与平面 所成角都是30，则这两条直线平行；若直线,a b 与平面 所成角都是30，则这两条直线不可能垂直；若直线,a b 垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直；若直线,a b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面 平行.A.1 B.2 C.3 D.49.已知函数1()1xxef xe，()1g xx，若对1xR，总存在2,xm n，使得12()()f xg x成立，以下对m、n 的取值范围判断正确的是（）A.2m
4、 B.2m C.2n D.2n 10.ABC的外接圆的圆心为O，满足COmCAnCB且432mn，|4 3CA，|6CB，则CA CB（）A.36 B.24 C.24 3D.12 311.设函数2log(1),0(),0 xxf xxx ，则满足(1)2f x 的 x 的取值范围为（）A.(4,3)B.(5,2)C.(3,4)D.(,3)(4,)12.已知点,M N 是抛物线24yx上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足135MFN.弦MN 的中点 P 到直线1:16L y 的距离为d，若22|MNd，则 的最小值为（）A.22B.212C.212D.22二、填空题（本题共 4 小题，每小题
5、 5 分，共 20 分）13.双曲线22916xy（R 且0）的离心率为.14.复数 z 满足方程230zz ，z 是 z 的共轭复数，则 zz.15.若21()1214xxf x，且 log(21)1af，其中1a，则 log(21)af.16.函数2()6sin1()2xf xxxxR的零点个数有个.高三数学（理科）第 2 页共 2 页三、解答题.（共 70 分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共 60 分）17.已知等差数列na的前n 项和为nS，若14mS ，
6、0mS，214mS（2m 且*mN）（12分）（1）求m 的值；（2）若数列 nb满足2log(*)2nnab nN，求数列(6)nnab的前n 项和.18.（12 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分 别 是 BD、BC 的 中 点，2CABCCDBD.2ABAD.（1）求证：AO 平面 BCD.（2）求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值.（3）求点 E 到平面 ACD 的距离.19.（12 分）2019 年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议，分别于 2019年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京召开.为了了解哪
7、些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在 15-75 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制出频率分布直方图，如图.若把年龄在区间15,35)，35,75内的人分别称为“青少年”“中老年”.经统计“青少年”和“中老年”的人数之比为 19:21.其中“青少年”中有 40 人关注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为 2:1.（1）求图中ab的值.（2）现采用分层抽样在25,35)和45,55)中随机抽取 8 人作为代表，从 8 人中任选 2 人，求 2 人都是“中老年”的概率.（3）根据已知条件，完成下面的2 2列联表，并判断能否有 99.9%的把握认为“中老年”比
8、“青少年”更加关注“两会”.附：22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中nabcd.20()P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为 12，且过点3(1,)2P，直线:l ykxm交椭圆 E 于不同的两点,A B，设线段 AB 的中点为 M.（1）求椭圆 E 的方程；（2）当 AOB的面积为 32（其中O 为坐标原点）且224430km 时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点,C D，使得当直线l
9、 运动时，|MCMD为定值？若存在，求出点,C D 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.21.（12 分）已知函数11()()ln(1)f xaxx aax.（1）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；（2）当3,)a 时，曲线()yf x总存在相异两点11(,()P xf x，22(,()Q xf x，使得曲线()yf x在,P Q 处的切线互相平行，求证1265xx.请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 (10 分)选 修 4-4，坐 标 系 与 参 数 方 程，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，曲 线1C 的 参 数 方 程 为222
10、 tan2 tan112 tan1xy（为参数，0,2）以标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2:cos()24C.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点 P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求|PQ 的最小值.23.（10 分）已知函数()|1|2|f xxx.（1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式2()f xxxm的解集非空，求m 的取值范围.高三数学（理科）第 3 页共 2 页树德中学高 2017 级三诊模拟数学（理科）试题参考答案123456789101112CABDBDCCCABD13.53或 5414.115.21
11、6.817.（1）由已知得14mmmaSS且12214mmmmaaSS，设 na公差为 d，则有2314mad.2d，由0mS 得1(1)202m mma即11am.1(1)214maamm，5m.（1）由知14a 2d，26nan.23lognnb 即32nnb.2(6)2nnnabn，设数列(6)nnab的前n 项和为nT.则10321 222(1)22nnnTnn 012121 222(1)22nnnTnn 由-得10211112222222nnnnnTnn11(1)22nnTn.18.（1）证明：连结OC，BODO，ABAD，AOBD，BODO，BCCD.COBD.在 AOC中，由已知
12、可得1AO，3CO，而2AC，2AC，222AOCOAC.90AOC即 AOOC，0BDOC，AO 平面 BCD.（2）解，取 AC 的中点 M，连结,OM ME OE，由 E 为 BC 的中点知/MEAB，/OEDC，直线OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与CD 所成的角.在OME中，1222EMAB，112OEDC，OM 是直角 AOC斜边 AC 上的中线，112OMAC，2cos4OEM，异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为24.（3）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为h.E ACDA CDEVV.1133ACDCDEh SAO S,在 ACD中，2CACD，2AD.
13、2212722()222ACDS而1AO，21332242CDES.31212772CDEACDAO ShS.点 E 到平面 ACD 的距离为217.另法：（2），（3）建立空间坐标系亦可解。19.解：（1）由题意得19(0.030)10192121(0.0100.005 2)101921ba，解得0.01750.0325ba，所以0.03250.01750.05ab.（2）由题意得，在25,35)中抽取0.0308=60.030+0.010（人），分别记为,A B C D E F，在45,55)中 抽 取 8-6=2（人），分 别 记 为,a b.则 从8人 中 任 选2人 的 全 部 基
14、本 事 件 有,AB AC AD AE AF Aa Ab BC BD BE BF,Ba Bb CD CE CF Ca Cb DE DF,Da Db,EF Ea,Eb Fa Fb ab，共 28 种，其中所选的 2 人都是“中老年”的事件只有ab 这 1 种，故 2 人都是“中老年”的概率128p.（3）2 2列联表如下：关注不关注总计“青少年”405595“中老年”7035105总计11090200所以22200(403555 70)12.15710.82895 105 11090K，所以有 99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”.20.解：（1）由于椭圆的离心率为 12，
15、则222:4:3:1abc，故椭圆22:(0)43xyE 又椭圆过点3(1,)2P，从而13144，从而椭圆 E 的方程为22143xy.（2）当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时，设 其 方 程 为 ykxm，并 设1122(,),(,)A xyB xy 联 立 方 程22143ykxmxy，得222(34)84120kxkmxm，则22122212248(43)084341243kmkmxxkmx xk 从而121226()243myyk xxmk，从而点 M 的坐标为2243(,)43 43kmmkk，高三数学（理科）第 4 页共 2 页由于222212248(43)|1|143kmA
16、Bkxxkk，点O 到直线l 的距离为2|1mdk，则 AOB的面积2222(43)1|2 3243AOBmkmSAB dk，由题得：2222(43)32 3432AOBmkmSk，从而化简得：222243(43)16(43)160kmkm，故2222(43)43(43)40kmkm，即22434km或223(43)4km，又由于224430km，从而223(43)4km.当223(43)4km时，由于2443Mkmxk，2343Mmyk，从而222222222223(42)3()()()()24343(43)43MMxykmmmkkkk，即点 M 在椭圆221934xy上.由椭圆的定义得，存
17、在点3(,0)2C，3(,0)2D或3(,0)2D，3(,0)2C，使得|MCMD为定值2 3.21.解：（1）由已0 x，2222111()1()()1()1axaxxaxaaafxxxxx ，由()0fx，得11xa，2xa，1a，101a ，且1aa，所以在区间1(0,)a上()0fx；在区间 1(,1)a上，()0fx，故()f x 在1(0,)a上单调递减，在 1(,1)a上单调递增.（2）由 题 意 可 得，当3,)a时，1212()()(,0)fxfxxx且12()xx，即221122111111aaaaxxxx ，所以121212111xxaaxxx x，3,)a.因为12,0
18、 x x，且12xx，所以21212()2xxx x恒成立，所以2121214()xxxx，又120 xx，12121214xxaax xxx，整理得1241xxaa.令4()1g aaa，3,)a，()g a在3,)单调递减，所以4()1g aaa在3,)上的最大值为6(3)5g，1265xx.22.（1）由已知可得222224tan2tan112tan1xy所以2222xy，又0且2.所以21(0,12tan1y，故1C 普通方程为2212xy（01y）2:20Cxy.（2）设(2 c o s,s i n)P，0.则 点 P到 直 线20 xy的 距 离|2 cossin2|2d|3sin()2|2=23sin()2其 中 t a n2，当s i n()1 时，min236222d.所以|PQ 的最小值为622.23.（1）3 1()21 123 2xf xxxx ，当1x 时()1f x 无解，当 12x 时，由()1f x 得211x .解得12x.当2x 时，由()1f x 解得2x.所以()1f x 的解集为|1x x.（2）由2()f xxxm得，2|1|2|mxxxx.而222355|1|2|1|2|(|)244xxxxxxxxx ，当32x 时，25|1|2|4xxxx，故54m.
