1、8.2空间点、线、面的位置关系专题检测1.(2019江西八校4月联考,5)设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下面四个命题:若,则;若,m,n,则mn;若m,n,则mn;若,=m,=n,则mn.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.答案D对于,垂直于同一个平面的两个平面可能相交,也可能平行,所以命题错误;对于,在两个相互垂直的平面内的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,所以命题错误;对于,若m,n,则直线m与n可能平行,也可能异面,所以错误;对于,由面面平行的性质定理可知命题正确,故选D.方法总结对点、线、面的位置关系的判断,常采用穷举法,即对各种位置关系都进行考虑,要充分利
2、用几何模型的直观性.2.(2019广西桂林高三4月联考,6)已知平面,两两垂直,直线a,b,c满足a,b,c,则直线a,b,c的位置关系不可能是()A.两两平行B.两两垂直C.两两相交D.两两异面答案A假设a,b,c三条直线两两平行,如图所示,设=l,ab,a,b,a.又知a,=l,al,又知,=l,l,又知ab,al,a,又知c,ac,所以假设不成立.故三条直线a,b,c不可能两两平行,因此选A.3.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.B.C.D.答案C由题意可知题图中,GHMN,因此直
3、线GH与MN共面;题图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图中,连接MG,则GMHN,因此直线GH与MN共面;题图中,G,M,N三点共面,但H平面GMN,所以直线GH与MN异面.故选C.4.(2020北京西城二模,10)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效,因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目.图1的ABCD由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得如图2所示的六面体形状的香囊,那么在图2这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关系为()图1图2A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面且不垂直
4、答案B将图1标上字母如图所示,图1沿虚线折起后如图2.图2由图可知,点D、E重合,点A、C重合,点B、F重合,ABD为等边三角形,所以棱AB与CD所在直线相交且夹角为60.故选B.解后反思本题考查折叠问题,主要弄清折叠前后点、线、角度的变化.5.(2017内蒙古包头十校联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成角的取值范围是()A.02B.02C.03D.00时,直线PB1与AQ是异面直线D.无论P,Q运动到任何位置,均有BCPQ答案B对于A,当P,Q分别为AD1和B1C的中点时,ABPQ,故A正确.对于B,当点P在点A处时,BPQ的面积为1
5、2;当点P在AD1的中点处时,BPQ的面积为24,所以BPQ的面积不为定值,故B错误.对于C,当PA0时,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与已知AP和B1Q异面相矛盾,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得BCPQ,故D正确.综上,本题选B.7.(2017辽宁五市八校第二次联考)设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点P到平面ABC,平面ABA1,平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P()A.仅有一个B.有有限多个C.有无限多个D.不存在答案A与平面ABC,平面ABA1
6、距离相等的点位于平面ABC1D1上;与平面ABC,平面ADA1距离相等的点位于平面AB1C1D上;与平面ABA1,平面ADA1距离相等的点位于平面ACC1A1上.据此可知,满足题意的点位于平面ABC1D1,平面AB1C1D,平面ACC1A1的公共点处,满足题意的点仅有一个,为正方体的中心.选A.8.(2020云南名校高三开学考试,12)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AD,AB,BB1的中点,那么正方体内过E,F,G的截面面积为()A.32B.33C.23D.22答案B如图所示,过点E,F,G的截面是一个边长为2的正六边形,其面积为634(2)2=33.故选B.9
7、.(2020贵州遵义绥阳一模,11)如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,ABCD=O,且ABCD,SO=OB=3,SE=14SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A.222B.53C.1316D.113答案D本题以圆锥为载体进行设题,考查异面直线所成角的定义及求法,正切函数,平行线分线段成比例,考查逻辑推理、数学运算的核心素养,考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.如图,过点S作SFOE,交AB于点F,连接CF,则CSF(或其补角)即为异面直线SC与OE所成的角.SE=14SB,SE=13BE,又OB=3,OF=13OB=1.SOOC,SO=OC=3,SC=3
8、2.SOOF,SF=SO2+OF2=10.OCOF,CF=10.在等腰SCF中,tanCSF=(10)2-3222322=113.故选D.方法总结解决异面直线成角问题常用平移法,平移直线有三种方法:中位线、平行四边形、补体平移.本题可过点S作SFOE,交AB于点F,并连接CF,得出CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据数量关系可得出tanCSF的值.10.(2019河北衡水三模,12)已知在高为2,底面边长为3的正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F,G分别是A1C1,A1B1,AB上的点,且有C1E=A1F=BG=1,则过点E,F,G的平面截正三棱柱所得的截面的面积为()A.
9、154B.152C.3154D.5154答案D如图所示,在平面ABB1A1内,连接GF并延长与AA1的延长线交于点P,A1F=BG=1,AB=3,AG=2,A1FAG且A1F=12AG,A1为AP的中点.连接PE并延长与AC的延长线交于点H,交线段CC1于点N,A1EAC,A1为AP的中点,E为PH的中点,C1E=1,A1C1=3,A1E=2,AH=4,CH=1,N为CC1的中点,连接GH交BC于点M,连接MN,则EFGH.由连线知平面GMNEF为所求截面.EA1F=60,A1E=2,A1F=1,EFA1B1,GHAB,又知EFA1A,A1AA1B1=A1,EF平面ABB1A1.又ABC=60
10、,BM=2,则CM=1,在RtPEF中,PF=5,EF=3,SPEF=1235=152.在RtPGH中,PG=25,GH=23,SPGH=122325=215.在MNH中,NH=NM=2,MH=3,SMNH=12352=154,截面的面积S=SPGH-SPEF-SMNH=215-152-154=5154.故选D.11.(2016广西南宁二模,16)已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面,给出下列四个命题:若m,n,且,则mn;若m,n,且,则mn;若m,n,且,则mn;若m,n,且,则mn.其中正确命题的个数为.答案2解析中m,n可能异面或相交,故不正确;因为m,n,且成立时,m,n两直线的
11、位置关系可能是相交、平行、异面,故不正确;因为m,可得出m,再由n可得出mn,故正确;分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故正确.评析本题考查了立体几何的几种基本关系,空间思维能力.12.(2017广西柳州模拟,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=2,BC=AA1=22,AB=23,D是线段AB上一点,且AC1平面CDB1,则直线AC1与CD所成角的余弦值为.答案13解析连接BC1交B1C于点O,则O为BC1的中点,连接OD.因为AC1平面CDB1,AC1平面AC1B,平面CDB1平面AC1B=OD,所以AC1OD,则D为AB的中点,于是ODC或其补角即为直线AC1
12、与CD所成的角.由AC=2,BC=22,AB=23,得AB2=AC2+BC2,则ACB=90,所以DC=12AB=3.由BC=AA1=BB1=22,得CB1=4.则OC=12CB1=2.由AC=2,CC1=AA1=22,得AC1=23,所以DO=12AC1=3,所以cosODC=DC2+DO2-OC22DCDO=3+3-4233=13.13.(2018皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为.答案0,12解析当点M为线段BC的中点时,由题意可知,截面为四边形AMND1,从而当012时,平面AMN与平面A1B1C1D1也有交线,故截面为五边形,所以若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为0,12.