1、专题七平面向量备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、平面向量的概念、线性运算及基本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考情况来看,考题难度以中低档为主,题型主要以选择题或填空题的形式出现,分值为5分.2.本专题内容在2020年的高考试题中多以平面向量的线性运算、平面向量的数量积为考查点(如2020新高考卷第7题是以正六边形为背景考查向量数量积的运算,2020课标卷理数第14题考查了单位向量与用数量积求向量的模,2020天津
2、卷第15题以四边形为载体考查用基底表示平面向量及求数量积,同时与最值问题相联系),近几年的高考试题都注重学生对平面向量的基本知识和基本解题方法的考查.3.本专题重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.1.结合图形理解平面向量的概念、向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.2.理解平面向量基本定理的实质,会用给定的基底表示向量.3.通过建立平面直角坐标系能求出向量的坐标,会进行平面向量的和、差、数乘向量及数量积的坐标运算.4.掌握用数量积的定义、几何意义求两向量的数量积并能用数量积求两向量夹角,判断或证明向量垂直、求向量的模.5.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.二、
3、平面向量的数量积及向量的综合应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量基本定理及其意义.【真题探秘】命题立意本题以正六边形为背景,考查求两个向量数量积的取值范围问题.解题过程如图,过点P作PP1直线AB于P1,过点C作CC1直线AB于C1,过点F作FF1直线AB于F1,APAB=|AP|AB|cosPAB,当PAB为锐角时,|AP|cosPAB=|AP1|,当PAB为钝角时,|AP|cosP
4、AB=-|AP1|,所以当点P与C重合时,APAB最大,此时APAB=|AC1|AB|=6,当点P与F重合时,APAB最小,此时APAB=-|AF1|AB|=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2APAB|b|且a与b同向,则ab;若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;若ab,bc,则ac.A.0B.1C.2D.3答案A2.设D为ABC中BC边上的中点,且O为AD上靠近点A的三等分点,则()A.BO=-16AB+12ACB.BO=16AB-12ACC.BO=56AB-16ACD.BO=-56AB+16AC答案D3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形AB
5、CD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D4.13(2a-3b)-3(a+b)=.答案-73a-4b考点二平面向量基本定理及坐标运算5.如图,在ABC中,AN=12AC,P是BN的中点,若AP=mAB+14AC,则实数m的值是()A.14B.1C.12D.32答案C6.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为()A.35,-45B.45,-35C.-35,45D.-45,35答案A7.向量a=13,tan,b=(cos,1),且ab,则cos2=()A.13B.-13C.79D.-79答案C8.已知向量a=(1
6、,1),b=(2,x),若(a+b)(4b-2a),则实数x的值是()A.-2B.3C.12D.2答案D9.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则=.答案4教师专用题组【基础集训】考点一平面向量的概念及线性运算1.(2019天津耀华中学统练(2),2)已知A、B、C、D是平面内任意四点,现给出下列式子:AB+CD=BC+DA;AC+BD=BC+AD;AC-BD=DC+AB.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案C式的等价式是AB-DA=BC-CD,左边=AB+AD,右边=BC+DC,不一定相等;式的等价式是AC-AD=BC-BD,即DC=DC成立;式
7、的等价式是AC=BD+DC+AB=AC成立.综上可知正确的是.故选C.2.(2016青海西宁二诊,7)已知点P为ABC所在平面内一点,边AB的中点为D,若2PD=(1-)PA+CB,其中R,则P点一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.AC边所在的直线上D.ABC的内部答案C因为2PD=(1-)PA+CB,所以2(PA+AD)=PA-PA+CB,2PA+2AD=PA-PA+CB,PA+2AD-CB=-PA,因为D为边AB的中点,所以PC=-PA,所以P点一定在AC边所在的直线上.思路分析利用向量的线性运算化简后,结合共线向量定理求解.解题关键由向量的线性运算得PC=-PA是求
8、解关键.3.(2018江西师大附中12月模拟,10)设D,E,F分别为ABC三边BC,CA,AB的中点,则DA+2EB+3FC=()A.12ADB.32ADC.12ACD.32AC答案D因为D,E,F分别为ABC的三边BC,AC,AB的中点,所以DA+2EB+3FC=12(BA+CA)+212(AB+CB)+312(AC+BC)=12BA+12CA+AB+CB+32BC+32AC=12AB+12BC+AC=12AC+AC=32AC,故选D.4.(2018福建高三4月质检,3)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所
9、示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中正确的是()A.BP-TS=5+12RSB.CQ+TP=5+12TSC.ES-AP=5-12BQD.AT+BQ=5-12CR答案A由题意得,BP-TS=TE-TS=SE=RS5-12=5+12RS,所以A正确;CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,所以B错误;ES-AP=RC-QC=RQ=5-12QB,所以C错误;AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD-SD,若AT+BQ=5-12CR,则SD=0,不合题意,所以D错误.故选A.5.(2019湖南顶级名校摸底考试,4)如图,已知AB=a
10、,AC=b,BC=4BD,CA=3CE,则DE=()A.34b-13aB.512a-34bC.34a-13bD.512b-34a答案DDE=DC+CE=34BC+13CA=34(AC-AB)-13AC=512AC-34AB=512b-34a.选D.6.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=a+b,AC=a+b(,R),若A,B,C三点共线,则,的关系一定成立的是()A.=1B.=-1C.-=1D.+=2答案A若A,B,C共线,则ACAB,即存在实数k,使得AC=kAB.AC=a+b,AB=a+b,a+b=k(a+b),即(1-k)a+(-k)b=0.a,b是不共线的非零向
11、量,1-k=0,-k=0,解得=1.故A,B,C三点共线的充要条件为=1.故选A.7.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3EC,F为AE的中点,则BF=()A.23AB-13ADB.13AB-23ADC.-23AB+13ADD.-13AB+23AD答案C如图,取AB的中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以BC=GD=AD-AG=AD-12AB,AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD-12AB=23AB+23AD,于是BF=AF-AB=12AE-AB=1223AB+23AD-AB=-23AB+13AD,故选C.解题关键选定向
12、量AB、AD为基底,正确利用向量的线性运算是求解关键.8.(2018吉林长春模拟,6)在ABC中,D为三角形所在平面内一点,且AD=13AB+12AC,则SBCDSABD=()A.16B.13C.12D.23答案B设直线AD与BC交于点E,AE=xAD.AD=13AB+12AC,AE=x3AB+x2AC.E、B、C三点共线,x3+x2=1,x=65,AE=65AD,AE=AD+DE,AD+DE=65AD,AD=5DE.AE=25AB+35AC,25(AE-AB)=35(AC-AE),BE=32EC.设SDEC=2x,则SDBE=3x,AD=5DE,SABD=53x=15x,SBCDSABD=S
13、DBE+SDECSABD=3x+2x15x=13.考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=13,tan,b=(cos,1),且ab,则cos2=()A.13B.-13C.79D.-79答案Cab,a=13,tan,b=(cos,1),13-tancos=0,即sin=13,cos2=1-2sin2=1-2132=79.故选C.2.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),则m的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,+)D
14、.(-,2)(2,+)答案D根据题意知,向量a,b是不共线的两个向量,a=(1,2),b=(m,3m-2),m13m-22,解得m2.m的取值范围是(-,2)(2,+).故选D.3.(2019安徽合肥第一次质检,5)设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为()A.-65,85B.(-6,8)C.65,-85D.(6,-8)答案D因为向量b与向量a方向相反,所以可设b=a=(-3,4),0,则|b|=92+162=252=5|=-5=10,所以=-2,所以b=(6,-8).故选D.4.(2019浙江温州高三适应性测试,4)在ABC中,D是线段BC上一点(不
15、包括端点),AD=AB+(1-)AC,则()A.-1B.-10C.01答案C由已知可得BD-BA=-BA+(1-)(BC-BA),即BD=(1-)BC,因为D是线段BC上一点(不包括端点),所以01-1,解得00,b0,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.9答案COA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2),A,B,C三点共线,AB=AC,即(a-1,1)=(-b-1,2),a-1=(-b-1),1=2,可得2a+b=1,a0,b0,1a+2b=1a+2b(2a+b)=2+2+
16、ba+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当ba=4ab,即a=14,b=12时取等号,故1a+2b的最小值为8,故选C.规律总结三点共线常用的处理办法有:(1)转化为向量共线,再利用向量共线的坐标表示求解;(2)利用直线的斜率相等求解.综合篇【综合集训】考法一与平面向量线性运算有关的解题策略1.(2020河北邯郸一模,4)在平行四边形ABCD中,若CE=4ED,则BE=()A.-45AB+ADB.45AB+ADC.-AB+45ADD.-34AB+AD答案A2.(2020河北廊坊第一次联考,6)在ABC中,BD=2DC,E是AD的中点,则AE=()A.16AB+13ACB.13AB-16ACC.
17、16AB-13ACD.13AB+16AC答案A3.(2020山东滨州三模,5)已知点O是ABC内一点,且满足OA+2OB+mOC=0,SAOBSABC=47,则实数m的值为()A.-4B.-2C.2D.4答案D4.(2019安徽安庆调研,6)如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E、F两点,且交其对角线AC于K,其中,AE=25AB,AF=12AD,AK=AC,则的值为()A.29B.27C.25D.23答案A5.(2019福建泉州四校第二次联考,11)如图,OC=2OP,AB=2AC,OM=mOB,ON=nOA,若m=38,则n=()A.34B.23C.45D.58答案A
18、考法二与平面向量坐标运算有关的解题策略6.(2020百校联考高考考前冲刺(二),2)已知向量a=(1,0),b=(1,3),则与2a-b共线的单位向量为()A.12,-32B.-12,32C.32,-12或-32,12D.12,-32或-12,32答案D7.(2020河南开封二模,11)在ABC中,A=2,AB=3,AC=4,动点P在ABC的内切圆上,若AP=AB+AC,则+的最大值为()A.16B.12C.1D.2答案C8.(2019北京西城月考,5)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(2m,m+1),若ABOC,则实数m的值为()A.-17B.-3C.-35D.35答案
19、B9.(2020天津南开中学统练(23),5)如图,在平行四边形ABCD中,BAD=3,AB=2,AD=1,若M,N分别是边AD,CD上的点,且满足MDAD=NCDC=,其中0,1,则ANBM的取值范围是()A.-3,-1B.-3,1C.-1,1D.1,3答案A教师专用题组【综合集训】考法二与平面向量坐标运算有关的解题策略1.(2019江苏扬州质检,9)若向量a与b既不平行也不垂直,则称向量a与b斜交.已知向量m=(1,3)与n=(-2,t)斜交,则实数t的取值范围是()A.(-,-6)23,+B.(-,-6)-6,2323,+C.-,-23(6,+)D.-,-23-23,6(6,+)答案B根
20、据题中定义,有1t-3(-2)0,1(-2)+3t0,解得t-6,t23.故实数t的取值范围是(-,-6)-6,2323,+.故选B.2.(2018天津六校期中联考,16)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),ABAD=5,AD2=10.(1)求D点的坐标;(2)若D点在第二象限,用AB,AD表示AC;(3)设AE=(m,2),若3AB+AC与AE垂直,求AE的坐标.解析(1)设D(x,y),由题意得AB=(1,2),AD=(x+1,y),ABAD=x+1+2y=5,AD2=(x+1)2+y2=10,(3分)即x+2y=4,(x+1)2+y2=10,解得x=-2,y=3或x=2,y=1.D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(5分)(2)D点在第二象限,D(-2,3).AD=(-1,3).设AC=kAB+nAD,AC=(-2,1),(-2,1)=k(1,2)+n(-1,3),(7分)-2=k-n,1=2k+3n,k=-1,n=1,AC=-AB+AD.(9分)(3)3AB+AC与AE垂直,(3AB+AC)AE=0,(11分)又3AB+AC=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),AE=(m,2),m+14=0,m=-14,AE的坐标为(-14,2).(13分)