1、第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 课后篇巩固提升基础巩固1.方程(2x-3)2+(y+2)2=0 表示的曲线是()A.一个圆B.两条直线C.一个点D.两个点解析由已知得2-3=0,+2=0,解得=32,=-2,所以方程表示一个点(32,-2).答案 C2.与点 A(-1,0)和点 B(1,0)连线的斜率之和为-1 的动点 P 的轨迹方程是()A.x2+y2=3B.x2+2xy=1(x1)C.y=1-2D.x2+y2=9(x0)解析设 P(x,y),因为 kPA+kPB=-1,所以-0-(-1)+-0-1=-1,整理得 x2+2xy=1(x1).答案 B3.方程 x-1=1-(-1)2表示
2、的曲线是()A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半个圆解析方程 x-1=1-(-1)2等价于(x-1)2+(y-1)2=1(x1),表示的曲线是半个圆.故选 D.答案 D4.“点 M 在曲线 y2=4x 上”是点 M 的坐标满足方程 y=-2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析点 M 在曲线 y2=4x 上,其坐标不一定满足方程 y=-2,但当点 M 的坐标满足方程 y=-2时,则点 M 一定在曲线 y2=4x 上.答案 B5.方程 x2+y2=1(xy0)表示的曲线是()解析由 xy0 可知,对应的曲线在第一、三象限.故选 B.答案 B6.已知点
3、 A(a,2)既是曲线 y=mx2上的点,也是直线 x-y=0 上的一点,则m=,a=.解析由题意知2=2,-2=0,解得 a=2,m=12.答案12 27.已知定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 .解析设 P(x,y),由|PA|=2|PB|得(+2)2+2=2(-1)2+2,整理得 x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.故点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,S=r2=4.答案 48.已知 A(2,1),B(2,-1),O 为坐标原点,动点 P(x,y)满足=m+n,其中 m,nR,
4、且 m2+n2=12,则动点P 的轨迹方程是 .解析点 P 满足=m+n,其中 m,nR,(x,y)=(2m+2n,m-n),x=2m+2n,y=m-n,m=+24,n=-24.m2+n2=12,+242+-242=12,即24+y2=1.答案24+y2=19.如图,圆 O1与圆 O2的半径都是 1,|O1O2|=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM,PN(M,N 分别为切点),使得|PM|=2|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程.解以 O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,得 O1(-2,0),O2(2,0).连接
5、PO1,O1M,PO2,O2N.由已知|PM|=2|PN|,得|PM|2=2|PN|2,又在 RtPO1M 中,|PM|2=|1|2|1|2,在 RtPO2N 中,|PN|2=|2|2|2|2,即得|1|2-1=2(|2|2-1).设 P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,化简得(x-6)2+y2=33.因此所求动点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.10.已知曲线 C 的方程是 y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线 C 上,求 k 的值;(2)当 k=0 时,判断曲线 C 是否关于 x 轴、y 轴、原点对称?解(1)因为点(1,-1)在曲
6、线 C 上,所以(-1)2-1(-1)+21+k=0,解得 k=-4.(2)当 k=0 时,曲线 C 的方程为 y2-xy+2x=0.以-x 代替 x,y 不变,方程化为 y2+xy-2x=0,所以曲线 C 不关于 y 轴对称;以-y 代替 y,x 不变,方程化为 y2+xy+2x=0,所以曲线 C 不关于 x 轴对称;同时以-x 代替 x,-y 代替 y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即 y2-xy-2x=0,所以曲线 C 不关于原点对称.能力提升1.已知 02,点 P(cos,sin)在曲线(x-2)2+y2=3 上,则 的值为()A.3B.53C.3 或 53D.
7、3 或 6解析将点 P 坐标代入曲线方程,得(cos-2)2+sin2=3,则 cos=12.又因为 02,所以=3或=53.答案 C2.设方程 f(x,y)=0 的解集非空,若命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,则下面说法正确的是()A.坐标满足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上B.曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x,y)=0C.坐标满足 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上D.一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0解析“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”不正确,就是说“坐标满足方程
8、 f(x,y)=0 的点不都在曲线 C 上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程 f(x,y)=0,但(x0,y0)C.即一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0,故应选 D.答案 D3.点 O(0,0),A(1,-2),动点 P 满足|PA|=3|PO|,则点 P 的轨迹方程是()A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2-2x+4y-5=0D.8x2+8y2+2x+4y-5=0解析设动点 P(x,y),满足|PA|=3|PO|,即|PA|2=9|PO|2,又由 O(0,0),A(1,-2)得,(x-
9、1)2+(y+2)2=9(x2+y2),化简整理可得,8x2+8y2+2x-4y-5=0.故选 A.答案 A4.方程|x|+|y|=1 所表示的曲线 C 围成的图形的面积为 .解析方程|x|+|y|=1 所表示的曲线 C 围成的图形是正方形 ABCD(如图),其边长为2.故方程|x|+|y|=1 所表示的曲线 C 围成的图形的面积为 2.答案 25.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则动点 P 的轨迹方程是.解析圆(x-1)2+y2=1 的圆心为 B(1,0),半径 r=1,则|PB|2=|PA|2+r2,所以|PB|2=2.故 P 的轨迹方程为:
10、(x-1)2+y2=2.答案(x-1)2+y2=26.方程为 2x2-9xy+8y2=0 的曲线 C 所满足的性质为 (填上所有正确的序号).不经过第二、四象限;关于 x 轴对称;关于原点对称;关于直线 y=x 对称.解析由 2x2-9xy+8y2=0,得 9xy=2x2+8y20,所以 x,y 同号或为零,故不经过第二、四象限,故正确;由 2x2-9xy+8y2=0,以-y 换 y,得到 2x2+9xy+8y2=0,故不关于 x 轴对称,故错误;由 2x2-9xy+8y2=0,以-y 换 y,以-x 换 x,得到 2x2-9xy+8y2=0,故关于原点对称,故正确;由 2x2-9xy+8y2
11、=0,以 x,y 互换得到 2y2-9xy+8x2=0,故不关于直线 y=x 对称,故错误.答案7.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1交 x 轴于点 A,l2交 y 轴于点 B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.解方法一:如图,设点 M 的坐标为(x,y),M 为线段 AB 的中点,A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y).l1l2,且 l1,l2过点 P(2,4),PAPB,即 kPAkPB=-1,而 kPA=4-02-2=21-(x1),kPB=4-22-0=2-1,21-2-1=-1(x1),整理得 x+2y-5=0(x1).当 x=1 时,A
12、,B 的坐标分别为(2,0),(0,4),线段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0.综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.方法二:设点 M 的坐标为(x,y),则 A,B 两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接 PM(如图).l1l2,2|PM|=|AB|.而|PM|=(-2)2+(-4)2,|AB|=(2)2+(2)2,2(-2)2+(-4)2=42+42,化简得 x+2y-5=0,即为所求的点 M 的轨迹方程.8.设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹方程.解如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为(2,2),线段 MN 的中点坐标为(0-32,0+42).因为平行四边形的对角线互相平分,所以2=0-32,2=0+42,从而有0=+3,0=-4.由 N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求点 P 的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:(-95,125),(-215,285).