1、湖南省长沙市重点中学 2014届高三上学期第四次月考试卷理科数学第卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则满足的集合个数是（ ） 2.是直线与直线平行的（ ） 3.若非零向量满足/，且，则（ ） 【答案】D【解析】试题分析：非零向量/，若所以存在实数使得.又 ，所以.考点：共线向量基本定理、向量的数量积4.已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( ) A. B. C. D.5.已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面必平行于 B.平面必与相交C.平面必不垂直于 D.存在的一条中位
2、线平行于或在内6.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（ ） 3 4 【答案】C【解析】试题分析：设，因为关于直线对称，所以.又在抛物线7.平面上动点满足，,则一定有（ ）考点：直线的方程、椭圆的几何性质8.在等差数列中，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（ ） 5 4 3 2第卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 .【答案】【解析】试题分析：由得，转化为直角坐标方程为，即为抛物线.易知其焦点直角坐标是（0,1），写成
3、极坐标为.考点：极坐标与直角坐标的转化10.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点， 的平分线分别交、于点、.则的度数= .11.若存在实数使成立，求常数的取值范围 .【答案】【解析】试题分析：由柯西不等式，即，又知为非负数，所以，当且仅当，即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立，所以常数的取值范围为.考点：柯西不等式（二）必做题（12-16题）12.计算：= .【答案】【解析】试题分析：由定积分的定义得.考点：定积分的计算13.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 .14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此
4、9个球排成一排共有 种不同的排法.（用数字作答）【答案】168015.定义：，其中是虚数单位，且实数指数幂的运算性质对都适应.若，则 16.已知函数 其中,. （1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ； （2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为 .【答案】(1) ；（2）-2.【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数，.求:（1）函数的最小值及取得最小值的自变量的集合；（2）函数的单调增区间.18.如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.（1）求证：；（2）求点的距离；（3）
5、求二面角的平面角的余弦值.到 所以,即点的距离；（3）分（2）由（1）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) , 有由，满足，所以E(1，2，0), F(0，1，1) 所以,所以点的距离. 8分19.长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生. （1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是
6、高一学生且至少有1人是初中学生的概率； （2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望. 6分（2）的可能取值为0，1，2，3 , , ， ， 所以的分布列为0123 所以， 12分考点：1.组合；2.随机事件的概率；3分布列与期望.20.2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（=100万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推）年初的拥有量记为，该
7、年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为其中=200万.（1）证明：；（2）用表示；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.试题解析：（1）依题 2分 只需证明，即证. 上式显然成立，所以. 5分21.定义：对于两个双曲线,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线.现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为.（1）写出的渐近线方程（不用证明）；（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明.（3）求值：. 【答案】（1）、；（2）是；（3）1.【解析】（3） 由（2）易得， 所以=1 . -13分考点：1.双曲线的几何性质；2.共轭双曲线的定义；3.离心率.22.设函数，若时，有极小值，（1）求实数的取值；（2）若数列中，求证：数列的前项和；（3）设函数，若有极值且极值为，则与是否具有确定的大小关系？证明你的结论.（2）由条件和第（1）问可知，函数在上单调递增， 5分 7分（3），由有极值且的定义域为可知：