1、第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程2抛物线2.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升1.若点M(x,y)满足,则动点M的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线答案D解析依题意,动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x+4y-1=0的距离,且点(0,0)不在直线3x+4y-1=0上,因此动点M的轨迹是抛物线.故选D.2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合,则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4答案D解析椭圆的右焦点为(2,0),=2,p=4.3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.4B.2C.1D.8答案C解析如
2、图,F,过A作AA准线l,|AF|=|AA|,x0=x0+,x0=1.4.抛物线y2=ax(a0)的焦点到其准线的距离是()A.B.C.|a|D.-答案B解析2p=|a|,p=.焦点到准线的距离是.5.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)答案B解析由题意易知直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线,由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点.6.点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为()A.y2=16xB.y2=-16xC.y2=24xD.y2=-24x答案
3、B解析因为点M到点F(-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离小2,所以将直线l:x-6=0左移2个单位,得到直线x-4=0,即x=4.可得点M到直线x=4的距离等于它到点(-4,0)的距离,根据抛物线的定义,可得点M的轨迹是以点(-4,0)为焦点,以直线x=4为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=-2px(p0),可得=4,得2p=16,所以抛物线的方程为y2=-16x,即为M点的轨迹方程.故选B.7.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点是原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.答案y2=8x解析由题意可设抛物线方程为y2=2ax(a0),点P(2,4)在抛物线
4、上,42=4a,a=4.即所求抛物线的方程为y2=8x.8.在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是.答案(6,6)解析抛物线的焦点为F(3,0),准线x=-3,抛物线上的点P,满足|PF|=9,设P(x0,y0),则|PF|=x0+=x0+3=9,x0=6,y0=6.9.求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点是直线3x+4y-15=0与x轴的交点;(2)准线是x=-;(3)焦点在x轴正半轴上,焦点到准线的距离是2;(4)焦点在x轴正半轴上,焦点到直线x=-5的距离是8.解(1)直线与x轴的交点为(5,0),故所求抛物线方程为y2=20x.(2)准线方程为x=-,p=3,开
5、口向右,抛物线方程为y2=6x.(3)由于p=2,焦点在x轴正半轴上,抛物线方程为y2=4x.(4)焦点在x轴正半轴上,设其坐标为(x0,0),x0+5=8,x0=3.焦点为(3,0),即=3,p=6.故抛物线方程为y2=12x.10.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.(2)求点P到点B的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.解如图,将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=.2,A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PAl时,|PA|+d最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.点P坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-即为抛物线的准线,根据抛物线定义得|PB|+d=|PB|+|PF|BF|,当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=,|PB|+d的最小值为.