1、第2课时不等式的证明1不等式证明的方法(1)比较法：作差比较法：知道abab0，ababb只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法作商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法即“由因导果”的方法(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法即“执果索因”的方法(4)反证法和放缩法：先假设要
2、证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法(5)数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当nn0时命题成立；假设当nk (kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于
3、不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0 (i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi (i1,2，n)时，等号成立(2
4、)算术几何平均不等式若a1，a2，an为正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立1设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值解根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.2若a，b，c(0，)，且abc1，求的最大值解()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.3设x0，y0，若不等式0恒成立，求实数的最小值解x0，y0，原不等式可化为()(xy)2.2224，当且仅当xy时等号成立min4，即4，4.题型一用综合法与分析法证明不等式例1(1)已知x，y均为正数，且xy
5、，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清
6、楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.题型二放缩法证明不等式例2若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|a
7、b|a|b|，所以.思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；利用函数的单调性；真分数性质“若0a0，则”(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，0，当取得最小值时，求a的值解由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此当a0时，的最小值是1；当a0，所以abc(当且仅当时取等号)6已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2
8、(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，当且仅当c3时等号成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.7(2015湖南)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立8(2016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M
9、；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以，1x；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以，x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.9(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；(2)设x，y，zR，且1，求xyz的取值范围解(1)|x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即a的取值范围是(1，)(2)由柯西不等式，
10、得42()222()2()2()2(42)2(xyz)2，即251(xyz)2.5|xyz|，5xyz5.xyz的取值范围是5,510已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.(1)解因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab且x1x21时，有最小值6.(2)证明方法一由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2)2()2(ab)2x1x2，当且仅当，即x1x2时取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.方法二因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，当且仅当x1x2时，取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.