1、专题五三角函数与解三角形备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4.理解同角三角函数的基本关系式.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出2、的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近几年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,考题难度以中档题为主,题型在选择题、填空题和解答题均有可能出现,比如(2020新高考的第10题(多选题),第15题(填空题),第17题(解答题),占20分;2020
2、课标理第9题考查二倍角公式,第16题是翻折问题与解三角形的结合;2020北京第14题考查三角函数最值及诱导公式,第17题选条件用正、余弦定理解三角形与求三角形的面积结合等).1.在复习备考中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.3.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理,以解答题的形式综合考查定理的综合应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查.二、三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切
3、公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.三、三角函数的图象、性质及应用1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.2.能画y=Asin(x+)的图象,了解参数A、对函数图象变换的影响.3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.四、解三角形及综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.【真题探秘】必备知识正弦定理、余弦定理.核心素养数学运算、逻
4、辑推理.解题指导在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理.易错警示应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围. 教师专用题组1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020课标理,95选择题中三角恒等变换二倍角公式、同角三角函数的基本关系公式法数学运算2020课标,文7,理75选择题易三角函数的图象与性质求最小正周期定义法数学运算2020新高考,105多项选择题中三角函数的图象与性质诱导公式、三角函数的性质定义法数学运算逻辑推理2020北京,145填
5、空题中三角函数的图象与性质三角函数的最值的应用直接法数学运算逻辑推理2020课标理,165填空题中解三角形余弦定理的应用直接法逻辑推理数学运算2020天津,85选择题中三角函数的性质及其应用三角函数的周期、最值,图象平移逐项判断法数形结合法数学运算2020北京,1713解答题中解三角形及其综合应用条件选择;正、余弦定理的应用,三角形的面积公式,两角和的正弦公式直接法逻辑推理数学运算2020新高考,1710解答题中解三角形及其综合应用条件选择;正、余弦定理的应用直接法逻辑推理数学运算2020天津,1614解答题中解三角形及其综合应用正、余弦定理的应用,两角和的正弦公式、二倍角公式直接法逻辑推理数
6、学运算2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,本章内容为高考热点,考题难度以中档为主,选择题、填空题和解答题均有可能出现.2.高考试题中主要考查三角函数的图象及其变换、性质及其应用,以及正弦、余弦定理在解三角形中的应用,有时也以化简求值为背景考查三角恒等变换等问题.3.在处理三角函数与解三角形有关问题时,熟记公式是解决此类问题的前提,同时注意换元法在解决与三角函数性质有关问题中的应用.4.本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.3.命题变化与趋势1.高考对本章内容的考查在稳定中有所提升,考查方式及题目难度在2020年变化较大,分值所占比重比往年要高,要引起足够重视.2.考查内容主要
7、体现在以下方面:以三角函数图象为背景考查诱导公式、图象的变换、性质的应用以及三角恒等变换(如2020年新高考卷第10题);以解三角形为载体考查正弦、余弦定理以及三角形面积公式的应用(如2020年新高考卷第17题,是一种全新的题型,需要先选择条件,再解三角形,有很强的自主选择性,考查了学生探究问题的能力);以函数、不等式、向量为载体与三角函数有关的综合性问题仍要关注.同时需要注意数形结合思想和函数方程思想在解题中的应用.5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式基础篇【基础集训】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.单位圆中,200的圆心角所对的弧长为()A.10B
8、.9C.910D.109答案D2.已知角的终边经过点(m,-2m),其中m0,则sin+cos=()A.-55B.55C.-35D.35答案B3.若sincos0,则角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D4.在平面直角坐标系中,角的始边与x轴的非负半轴重合,将角的终边逆时针旋转23得到角,若sin6+=13,则cos=()A.-223B.23C.23D.-13答案D5.已知扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大时,半径R为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm答案B6.已知sin2+3cos(-)=sin(-),则sincos+cos2=()A.15B
9、.25C.35D.55答案C7.已知点P(1,3)在角的终边上,则6sin+8cos3sin-2cos=.答案267教师专用题组【基础集训】考点一三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2020山西模拟)“为第一或第四象限角”是“cos0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A当为第一或第四象限角时,cos0,所以“为第一或第四象限角”是“cos0”的充分条件,当cos0时,是第一或第四象限角或x轴正半轴上的角,所以“为第一或第四象限角”不是“cos0”的必要条件,所以“为第一或第四象限角”是“cos0”的充分不必要条件.故选A.易错
10、警示忽视角的终边在x轴正半轴上的情况.2.(2019北京海淀期中,5)角终边经过点P(4,y),且sin=-35,则tan=()A.-43B.43C.-34D.34答案C本题考查三角函数的定义.sin=yx2+y2=y42+y2=-35,y=-3,P点坐标为(4,-3),tan=yx=-34.故选C.3.(2020山西大同期中)设a=sin512,b=cos512,c=tan512,则()A.abcB.acbC.bcaD.baMPOM,所以bac.故选D.4.(2020百校联考高考考前冲刺(二),3)已知O为坐标原点,角的终边经过点P(3,m)(m0)且sin=1010m,则sin2=()A.
11、45B.35C.-35D.-45答案C根据题意得,sin=mm2+9=1010m,解得m=-1,所以P(3,-1),所以sin=-1010,cos=31010,所以sin2=2sincos=-35.5.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知是第三象限角,且cos3=-cos3,则3是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案C是第三象限角,2k+2k+32(kZ).2k3+332k3+2(kZ),3的终边在第一象限或第三象限或第四象限.又cos3=-cos3,cos30,3是第三象限角,故选C.6.(2019北京西城一模,13)能说明“若sin=cos,则+=k360+90
12、,其中kZ”为假命题的一组,的值是.答案=180,=90(答案不唯一)解析当=180,=90时,满足sin=cos,但+=270,不满足+=k360+90(kZ),因此原命题为假命题.7.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos2x+1,且f(8)=2,则f(2018)=.答案0解析f(8)=cos(4+)+1=cos+1=2,cos=1,f(2018)=cos22018+1=cos(1009+)+1=cos(+)+1=-cos+1=-1+1=0.8.(2020广东化州二模,15)已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为,则sin2-cos22sincos+
13、cos2的值为.答案35解析由f(x)=23x3得f(x)=2x2,f(1)=2,故tan=2.sin2-cos22sincos+cos2=tan2-12tan+1=22-122+1=35.思路分析根据导数的几何意义求出tan=2,然后将所给齐次式转化为只含有tan的形式后求解即可.方法总结本题以导数的几何意义为载体考查三角函数求值.对于含有sin,cos的齐次式的求值问题,一般利用同角三角函数的基本关系转化为关于tan的形式后再求解.综合篇【综合集训】考法一三角函数定义的应用1.(2020山东仿真联考2,3)已知角的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点M(-3,4),则cos2的值为()A.-
14、725B.725C.-2425D.2425答案A2.(2020山东滕州一中3月模拟,5)已知角的终边经过点P(sin47,cos47),则sin(-13)=()A.12B.32C.-12D.-32答案A3.(2020四川绵阳南山中学月考,4)已知角的终边过点P(-8m,-6sin30),且cos=-45,则m的值为()A.12B.-12C.12D.32答案C考法二同角三角函数的基本关系式的应用4.(2020山东济南二模,3)已知为第四象限角,cos=513,则sin=()A.-1213B.1213C.-512D.512答案A5.(2020山东日照、潍坊、临沂部分学校6月模拟,5)已知直线l1:
15、xsin+y-1=0,直线l2:x-3ycos+1=0,若l1l2,则sin2=()A.23B.35C.-35D.35答案D6.(2020山东济宁6月三模,12)已知tan(-)=2,则sin+cossin-cos=.答案13考法三利用诱导公式化简求值7.直线l:2x-y+e=0的倾斜角为,则sin(-)sin2+的值为()A.-25B.-15C.15D.25答案D8.(2020湖南株洲检测,3)化简sin(-)cos(3+)sin32+cos-2的结果为()A.1B.-1C.sinD.cos答案A9.(2020吉林部分名校3月联考,8)若sin-cos=43,且34,则sin(-)-cos(
16、-)=()A.-23B.23C.-43D.43答案A10.(多选题)(2020山东聊城一中线上3月测试,9)下列化简正确的是()A.tan(+1)=tan1B.sin(-)tan(360-)=cosC.sin(-)cos(+)=tanD.cos(-)tan(-)sin(2-)=1答案AB11.(2020陕西渭南尚德中学月考,17)已知f()=sin(5-)cos+32cos(+)sin-32cos+2tan(-3).(1)化简f();(2)若是第三象限角,且cos32-=15,求f()的值.教师专用题组【综合集训】考法一三角函数定义的应用1.(2019北京海淀一模,2)若角的终边在第二象限,则
17、下列三角函数值中大于零的是()A.sin+2B.cos+2C.sin(+)D.cos(+)答案D角的终边在第二象限,+2的终边在第三象限,sin+20,cos+20.+的终边在第四象限,sin(+)0.故选D.2.(2018云南曲靖质检,5)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则sin2+3=()A.3-4310B.-3-4310C.4-3310D.-4-3310答案A由题意知的终边在第一或第三象限,且tan=3,则sin2+3=12sin2+32cos2=sincos+32(cos2-sin2)sin2+cos2=tan+32(1-tan2)tan2+1=3
18、-4310,故选A.解后反思用三角函数定义求三角函数值的两种情况:(1)已知角终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求解三角函数值;(2)已知角的终边所在的直线方程,注意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.3.(2020山西太原名校联盟4月模拟,7)已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,将角的终边按顺时针方向旋转6后经过点(-3,4),则cos=()A.33+410B.-33+410C.33-410D.4-3310答案B本题主要考查三角函数的定义、两角和的余弦公式,通过角的旋转以及凑角法转化角的形式,考查转化与化归思想,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.将角的终边按顺时针
19、方向旋转6后得到的角为-6,由三角函数的定义,可得cos-6=-3(-3)2+42=-35,sin-6=4(-3)2+42=45,所以cos=cos-6+6=cos-6cos6-sin-6sin6=-3532-4512=-33+410,故选B.思路分析首先利用三角函数定义求出角-6的正、余弦值,然后利用凑角法把角转化为-6+6,再利用两角和的余弦公式求得结果.4.(2019新疆石河子一中期中,7)已知角的终边上的一点P的坐标为35,45,若角的终边绕着坐标原点逆时针旋转90得到角,则cos21+sin2=()A.-17B.17C.-7D.7答案D角的终边上的一点P的坐标为35,45,cos=3
20、5,sin=45,角的终边绕着坐标原点逆时针旋转90得到角,则sin=sin+2=cos=35,cos=cos+2=-sin=-45,cos2=2cos2-1=725,sin2=2sincos=-2425,cos21+sin2=7251-2425=7.故选D.思路分析由题意利用任意角的三角函数的定义可求cos,sin,利用诱导公式可求sin,cos的值,根据二倍角公式可求cos2,sin2,代入计算即可.5.(2017北京海淀期中)若角的终边过点P(3,-4),则sin(-)=.答案45解析由角的终边过点P(3,-4),得sin=-45,所以sin(-)=-sin=45.6.(2018陕西榆林
21、一模,13)若角的终边经过点P35,-45,则sintan的值是.答案1615解析设坐标原点为O,OP=r=352+-452=1,sin=-45,tan=-4535=-43,sintan=-45-43=1615.思路分析利用三角函数的定义即可求解.考法二 同角三角函数的基本关系的应用1.(2019四川成都石室中学4月月考,2)已知为第二象限角,且sin+cos=15,则cos-sin=()A.75B.-75C.75D.2425答案Bsin+cos=15,两边平方得1+2sincos=125,2sincos=-2425,(cos-sin)2=1-2sincos=1+2425=4925,为第二象限
22、角,cos-sin=-75,故选B.2.(2020河南六市一模,5)已知cos2+=35,且2,32,则tan=()A.43B.34C.-34D.34答案Bcos2+=35,sin=-35.又2,32,cos=-1-sin2=-45,tan=sincos=34.故选B.3.(2020吉林长春二模,9)已知为锐角,且sin+3sin-3=tan+3,则角=()A.12B.6C.4D.3答案C本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式等,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.由条件得sin+3sin-3=sin+3cos+3,又因为为锐角,所以sin-3=cos+3,即sin-3=sin2-+3,
23、所以有-3=2-+3,解得=4,故选C.4.(2020湖北武汉外国语学校月考)已知0,2,则4cos2sin4+1cos4的最小值为.答案5+42解析1cos2=sin2cos2+1,1sin2=cos2sin2+1,令sincos2=k,k0,则1sin2=1k+1,1cos4=1cos22=(k+1)2=k2+2k+1,4cos2sin4+1cos4=4cos2sin21sin2+1cos4=4k1k+1+k2+2k+1=4k2+k2+4k+2k+124k2k2+24k2k+1=5+42,当且仅当k4=4,2k2=4,即k=2时,取等号,则4cos2sin4+1cos4的最小值为5+42.
24、思路分析令sincos2=k,k0,利用同角三角函数的基本关系得出1sin2=1k+1,1cos4=k2+2k+1,从而将4cos2sin4+1cos4化为4k2+k2+4k+2k+1,再结合基本不等式得出最值.考法三 利用诱导公式化简求值1.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin3314+=-5cos514+,则tan514+=()A.-53B.-35C.35D.53答案A由3sin3314+=-5cos514+,得sin514+=-53cos514+,所以tan514+=sin514+cos514+=-53.2.(2017巴蜀黄金大联考,4)已知cos45cos715-sin
25、95sin715=cosx+2cosx+23,则sin2x等于()A.13B.-13C.112D.-112答案Acos45cos715-sin95sin715=cos45cos715+sin45sin715=cos45-715=cos3=12,cosx+2cosx+23=12,即-sinxcosx=12-23=-16.12sin2x=16.sin2x=13.故选A.3.(2020广东深圳统测,6)已知tan=-3,则sin2+4=()A.35B.-35C.45D.-45答案Dsin2+4=sin2+2=cos2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2,将tan=-3代入,原式=1-91+9=-45,故选D.4.(2020江西九江模拟,14)已知cos6-=23,则sin（6+2）=.答案-19解析本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.因为26-+6+2=2,所以sin6+2=sin2-26-=cos26-=2cos26-1,把cos6-=23代入得,原式=249-1=-19.
