1、专题07 函数的基本性质1.（2021全国甲卷）下列函数中是增函数的为() ABCD2（2021全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1x)f（-x）若 ()ABCD1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间
2、D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值3函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称4.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得
3、对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数yf(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【常用结论】1x1，x2D且x1x2，有0(0(0或f(x)0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)7函数对称性常用结论(1)f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x)的图象关于直线xa对称(2)f(ax)f(bx)f(x)的图象关于直线x对称f(ax)f(bx)f(x)的图象关于点对称f(2ax)f(x)2bf(x)的图象关于点(a，b)对称 考点
4、一确定函数的单调性1.（2022吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（）ABCD2（2022太原二模）已知函数，则（）A在上单调递增B在上单调递减C的图象关于直线对称D的图象关于点对称【思维升华】确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法考点二函数单调性的应用3.(2022成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2(，0)，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0成立，若af(ln)，bf()，cf()，则a，b，c的大小关系是()Acba BacbCabc Dca0有3个零点，则的取值范围为（）ABCD4.(2022贵阳模拟)已知函数f
5、(x)在(，)上单调递减，且为奇函数，若f(1)2，则满足2f(x2)2的x的取值范围是()A2,2 B1,1C1,3 D0,45(2022南通模拟)已知函数f(x)若a50.01，blog32，clog20.9，则有()Af(a)f(b)f(c)Bf(b)f(a)f(c)Cf(a)f(c)f(b)Df(c)f(a)f(b)6.（2022柯桥模拟）已知函数，下图可能是下列哪个函数的图象（）ABCD7.（2022湖北模拟）已知函数，则（）ABCD8（2022安丘模拟）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的解集为（） ABCD9.(2022宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任
6、意的xR都有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)x2axb，则ab等于()A0 B1 C2 D210（2022江西模拟） 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数 ，则（）AB当 时， CD二、填空题11.（2022全国乙卷）若 是奇函数，则 ， 12（2022广州模拟）若函数是偶函数，则 13（2022临沂二模）已知函数 是偶函数，则 14（2022呼和浩特模拟）已知函数 是R上的奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ， ，且 时，都有 ，有下列命题： ；点 是函数 图象的一个对称中心；函数 在 上有2023个零点；函数 在 上为减函数；则正确结论的序号为 三、解答题15.已知函
7、数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)0，A0)，使得对于任意xR，f(xT)Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.(1)判断函数yx和ycos x是否具有性质P？(结论不要求证明)(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T，A2.已知当x(0，时，f(x)sin x，求函数f(x)在区间，0上的最大值专题07 函数的基本性质1.（2021全国甲卷）下列函数中是增函数的为() ABCD【答案】D【解析】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x0时，y=kx单调递减，故A错误；对于B，考察函数f(x)=a
8、x，易知当0a1时，f(x)=ax单调递减，故B错误；对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；对于D，考察函数，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.故答案为：D2（2021全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1x)f（-x）若 ()ABCD【答案】C【解析】解：因为 f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1x)fx)，所以故答案为：C1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1f(x2)，那么
9、就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M(1)xI，都有f(x)M；(2)x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值3函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称
10、奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称4.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数yf(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【常用结论】1x1，x2D且x1x2，有0(0(0或f(x)0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)7函数对称性常用结论(1)f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)
11、f(x)f(2ax)f(x)的图象关于直线xa对称(2)f(ax)f(bx)f(x)的图象关于直线x对称f(ax)f(bx)f(x)的图象关于点对称f(2ax)f(x)2bf(x)的图象关于点(a，b)对称 考点一确定函数的单调性1.（2022吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（）ABCD【答案】A【解析】对于A选项，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，A选项满足要求；对于B选项，函数在上为减函数，B选项不满足要求；对于C选项，函数在其定义域上不单调，C选项不满足要求；对于D选项，函数在其定义域上为减函数，D选项不满足要求.故答案为：A.2（2022太原二模）已知函数，则（）
12、A在上单调递增B在上单调递减C的图象关于直线对称D的图象关于点对称【答案】C【解析】解：因为，当时， 此时为常数函数，不具有单调性，A、B均错误；因为，所以，所以关于对称，C符合题意，D不符合题意；故答案为：C【思维升华】确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法考点二函数单调性的应用3.(2022成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2(，0)，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0成立，若af(ln)，bf()，cf()，则a，b，c的大小关系是()Acba BacbCabc Dcab答案B解析对任意x1，x2(，0)，均有(x1x2)
13、f(x1)f(x2)0成立，此时函数在区间(，0)上单调递减，f(x)是偶函数，当x(0，)时，f(x)单调递增，又f(x)在x(0，)上单调递增，1，又0ln1，lnf(ln)，即ac0有3个零点，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，即，因为函数为增函数，且，所以，.当时，由，得；当时，由，得.结合函数的图象可知，若有3个零点，则故答案为：A4.(2022贵阳模拟)已知函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数，若f(1)2，则满足2f(x2)2的x的取值范围是()A2,2 B1,1C1,3 D0,4答案C解析因为f(x)为奇函数
14、，若f(1)2，则f(1)2，所以不等式2f(x2)2可化为f(1)f(x2)f(1)，又f(x)在(，)上单调递减，所以1x21，解得1x3.5(2022南通模拟)已知函数f(x)若a50.01，blog32，clog20.9，则有()Af(a)f(b)f(c)Bf(b)f(a)f(c)Cf(a)f(c)f(b)Df(c)f(a)f(b)答案A解析yex是增函数，yex是减函数，因此在(0，)上yexex单调递增，且此时f(x)0.f(x)x2在x0时单调递增，所以f(x)在R上单调递增clog20.90，blog32，所以0b1，即abc，所以f(a)f(b)f(c)6.（2022柯桥模拟
15、）已知函数，下图可能是下列哪个函数的图象（）ABCD【答案】D【解析】由图可知，图象对应函数为奇函数，且；显然对应的函数都不是奇函数，故排除；对：，其为奇函数，且当时，故错误；对：，其为奇函数，且当时，故正确.故答案为：D.7.（2022湖北模拟）已知函数，则（）ABCD【答案】D【解析】当 时，当 时， 故答案为：D8（2022安丘模拟）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的解集为（） ABCD【答案】C【解析】 即 时， ， ，即 ，可得 ， 当 时， ， ，因此 即 时， ， ，所以 ，综上，不等式的解集为 或 故答案为：C9.(2022宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数
16、，且对任意的xR都有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)x2axb，则ab等于()A0 B1 C2 D2答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x0,2时，f(x)x2axb，所以f(0)b0，f(x)f(x)，又对任意的xR都有f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以函数图象关于直线x1对称，所以1，解得a2，所以ab2.10（2022江西模拟） 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数 ，则（）AB当 时， CD【答案】D【解析】因为 是奇函数， 是偶函数， 所以 ，解得 ，则选项 错误；由 得，当 时， ， ， ，则选项 错误；同理可得，当 时， ，以此类推
17、，得到 的图像如图所示，由图可知，根据图象可知 刚好是每一段抛物线的最大值，其最大值成首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，同理可知 的值成首项为 ，公比为 的等比数列， ，即 ，则选项 错误； 表示数列 的前项和，即 ，则选项 正确；故答案为： .二、填空题11.（2022全国乙卷）若 是奇函数，则 ， 【答案】；【解析】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称 由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， 即 ，在定义域内满足 ，符合题意故答案为： ； 12（2022广州模拟）若函数是偶函数，则 【答案】【解析】解：因为函数是偶函数，故，即，解得.故，则.故答案为：.
18、13（2022临沂二模）已知函数 是偶函数，则 【答案】2【解析】由 得 的定义域为 ， 则 是偶函数，故f(-1)=f(1)，即 ，解得m=2此时 ，而 ，故 确为偶函数，故m=2故答案为：214（2022呼和浩特模拟）已知函数 是R上的奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ， ，且 时，都有 ，有下列命题： ；点 是函数 图象的一个对称中心；函数 在 上有2023个零点；函数 在 上为减函数；则正确结论的序号为 【答案】【解析】 ，令 得 ， ，令 得 ， ， 所以 ，又 是奇函数， ， ， 是周期函数，4是它的周期，当 ， ，且 时，都有 ，即 时， ， 在 是增函数，由奇函数性质知 在 上
19、也是增函数，所以 在 上递增，所以 ，从而 ， ， ，正确； ，则函数图象关于直线 对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点 对称，正确；由上讨论知 在 上有2个零点， ，注意 ，因此 在 上零点个数为 ，正确；由周期性知函数在 与 时的图象相同，函数同为增函数，错误故答案为：三、解答题15.已知函数f(x)a.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的取值范围解(1)f(0)aa1.(2)f(x)在R上单调递增证明如下：f(x)的定义域为R，任取x1，x2R且x1x2，则f(x1)f(x2)aa，y2x在R上单调递
20、增且x1x2，0，0,10.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在R上单调递增(3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a1.f(ax)f(2)即为f(x)f(2)，又f(x)在R上单调递增，x0，A0)，使得对于任意xR，f(xT)Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.(1)判断函数yx和ycos x是否具有性质P？(结论不要求证明)(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T，A2.已知当x(0，时，f(x)sin x，求函数f(x)在区间，0上的最大值解(1)因为函数yx是增函数，所以函数yx不具有性质P，当A1，T2时，函数ycos x对于任意xR，f(xT)Af(x)成立，所以ycos x具有性质P.(2)设x(，0，则x(0，由题意得f(x)2f(x)sin(x)，所以f(x)sin x，x(，0，由f()2f()，f(0)2f(0)，得f()f()0，所以当x，0时，f(x)sin x，所以当x时，f(x)在，0上有最大值f.