1、专题强化练5折叠问题一、选择题1.()如图所示,在直角梯形BCEF中,CBF=BCE=90,A,D分别是BF,CE上的点,ADBC,且AB=DE=2BC=2AF(如图).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图).在折起的过程中,下列说法中错误的个数是()AC平面BEF;B,C,E,F四点不可能共面;若EFCF,则平面ADEF平面ABCD;平面BCE与平面BEF可能垂直.A.0B.1C.2D.3二、填空题2.(2021贵州遵义高三一模,)如图,正方形ABCD中,AB=22,点E为AD的中点,现将DEC沿EC折起形成四棱锥P-ABCE,则下列命题中为真命题的是(填序号).设点O为A
2、C的中点,点M在线段PC上,若MC=2PM,则在折起过程中,P、M、B、O四点可能共面;设OD与EC交于点F,则在折起过程中AC与PF可能垂直;四棱锥P-ABCE体积的最大值为4105.三、解答题3.()如图所示的等边三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点.现将ABC沿CD折叠,使平面ADC平面BDC,如图所示.(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比.4.(2021山西名校高二上期中联考,)如图所示,在直角梯形ABCD中,BAD=90,ADBC,AD=6,BC=4,A
3、B=2,E,F分别在BC,AD上,EFAB.现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF平面EFDC.(1)当BE=1时,在折叠后的AD上是否存在一点P,使得CP平面ABEF?若存在,求出APPD的值;若不存在,说明理由;(2)设BE=x,当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.专题强化练5折叠问题一、选择题1.B连接AC,取AC的中点O,BE的中点M,连接MO,MF,易证四边形AOMF是平行四边形,所以ACFM,所以AC平面BEF,所以正确;假设B,C,E,F四点共面,因为BCAD,所以BC平面ADEF,可推出BCEF,所以ADEF,这与已知相矛盾,故B,C,E,F
4、四点不可能共面,所以正确;连接CF,DF,在梯形ADEF中,易得EFFD,又EFCF,所以EF平面CDF,所以EFCD,又CDAD,所以CD平面ADEF,则平面ADEF平面ABCD,所以正确;延长AF至G,使得FG=AF,连接BG,EG,易得平面BCE平面ABF,过F作FNBG于N,则FN平面BCE,若平面BCE平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,前后矛盾,故错误.综上所述,只有1个说法错误.故选B.二、填空题2.答案解析因为点M在线段PC上,所以平面PMO即为平面PAC,又BAC,所以P、M、B、O不可能在同一平面内,所以不正确.沿EC折起过程中,假设PFAC,因为AC
5、OD,所以AC平面PBF,所以ACPB,而这显然是不可能的,所以不正确.易知当平面PEC平面ABCE时,四棱锥P-ABCE的体积最大,在RtDCE中,设斜边CE上的高为h,则DEDC=EChh=2105,所以VP-ABCE=1312(2+22)222105=4105,所以正确.故真命题为.三、解答题3.解析(1)AB平面DEF.理由:E,F分别为AC,BC的中点,ABEF,AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF.(2)以DA,DB,DC为棱补成一个长方体,则四面体A-DBC的外接球即为长方体的外接球.设球的半径为R,则a2+a2+3a2=(2R)2,R=52a,于是球的体积V1=43R
6、3=556a3.又VA-BDC=13SBDCAD=36a3,VE-DFC=13SDFC12AD=324a3,V1VD-ABFE=V1VA-BDC-VE-DFC=20159.故四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比为20159.4.解析(1)存在点P,使得CP平面ABEF,此时APPD=32.当APPD=32时,APAD=35,过P作MPFD,与AF交于M,连接ME,则MPFD=35,又FD=5,MP=3.EC=3,MPFDEC,MPEC,且MP=EC,故四边形MPCE为平行四边形,PCME,PC平面ABEF,ME平面ABEF,CP平面ABEF.(2)平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,AFEF,AF平面ABEF,AF平面EFDC,BE=x,AF=x(0x4),FD=6-x,故三棱锥A-CDF的体积V=13122(6-x)x=-13(x-3)2+3,0x4.当x=3时,三棱锥A-CDF的体积有最大值,最大值为3.