1、3.3 二次函数与幂函数 专题检测 1.(2020 四川宜宾第四中学第二次月考,6)已知函数 f(x)=x-3,若 a=f(0.60.6),b=f(0.60.4),c=f(0.40.6),则 a,b,c 的大小关系是()A.acb B.bac C.bca D.cab 答案 B f(x)=x-3在(0,+)上是减函数,0.40.60.60.60.60.4,所以 bac,故选 B.2.(多选题)(202053 原创题)若函数 y=x2-4x-4 在区间0,a)上既有最大值又有最小值,则正整数 a 的值可能是()A.2 B.3 C.4 D.5 答案 BC 令 y=f(x)=x2-4x-4=(x-2)
2、2-8,作出函数 y=f(x)的部分图象,如图,f(0)=f(4)=-4,f(x)min=f(2)=-8.因为函数在区间0,a)上既有最大值又有最小值,所以区间0,a)必须包含 2,且 f(a)-4,所以 2 0,解得 m=1,故选 B.4.(2018 河北保定第一次模拟,8)已知函数 f(x)既是二次函数又是幂函数,函数 g(x)是 R 上的奇函数,函数h(x)=()()+1+1,则 h(2018)+h(2017)+h(2016)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=()A.0 B.1 C.4036 D.4037 答案 D 因为函数 f(x)
3、既是二次函数又是幂函数,所以 f(x)=x2,所以 h(x)=()2+1+1,因为 g(x)是 R 上的奇函数,因此 h(x)+h(-x)=()2+1+1+(-)2+1+1=2,h(0)=(0)0+1+1=1,因此 h(2018)+h(2017)+h(2016)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2016)+h(-2017)+h(-2018)=20182+1=4037,选 D.5.(2017 浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知 f(x)=-2-2+1,0,(-1),0,则 y=f(x)-x 的零点有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 C 由条件知 f(x)=
4、-2-2+1,0,-(-)2+2,bc B.acb C.cab D.cba 答案 C 由题图知,函数 y=ax是指数函数,且 x=1 时,y=a(1,2);函数 y=xb是幂函数,且 x=2 时,y=2b(1,2),b(0,1);函数 y=logcx 是对数函数,且 x=2 时,y=logc2(0,1),c2.综上,a、b、c 的大小关系是 cab.故选 C.8.(2020 海南天一大联考一模,5)不等式(x2+1)12(3x+t)12的解集为()A.-53,-1)(4,+)B.(-1,4)C.(4,+)D.(-,-1)(4,+)答案 A 不等式(x2+1)12(3x+5)12等价于 x2+1
5、3x+50,解得-53x4,所以原不等式的解集为-53,-1)(4,+).故选 A.9.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于 x 的方程 x2-ax-2=0 和 x2-x-1-a=0 的实根分别为 x1,x2和x3,x4,若 x1x3x2x4,则 a 的取值范围是 .答案-1a1 解析 由 x2-ax-2=0 得 a=x-2(x0),由 x2-x-1-a=0 得 a=x2-x-1.在同一个坐标系中画出 y=x-2和 y=x2-x-1 的图象(如图).由 x-2=x2-x-1 化简得 x3-2x2-x+2=0,即(x+1)(x-1)(x-2)=0,解得 x=-1 或 x=1 或
6、 x=2.当 x=2 或 x=-1时,y=1;当 x=1 时,y=-1,所以函数 y=x-2与 y=x2-x-1 的图象有 3 个交点:(-1,1),(1,-1),(2,1).作直线 y=a 与 y=x-2的图象相交,且交点横坐标从左到右依次为 x1,x2,直线 y=a 与 y=x2-x-1 的图象相交,且交点横坐标从左到右依次为 x3,x4,若满足 x1x3x2x4,则由图象知,-1a0,解得 0m2,又 mN*,所以 m=1.11.(2019 河北邯郸模拟,16)若正实数 a,b 满足 a+b=1,则函数 f(x)=ax2+(3+1)x-a 的零点的最大值为 .答案-9+852 解析 设
7、f(x)=ax2+(3+1)x-a 的零点为 x1,x2,且 x1x2,则 x2=-(3+1)+(3+1)2+42,令 t=3+1=3+1-2,0b1,求导得 t=32+2-1(-2)2,0b13时,t13时,t0,函数递增,b=13时,t 取得最小值 9,t9,x2=-+2+42=(-+2+4)(2+4+)2(2+4+)=22+4+在 t9,+)上递减,t=9,即 a=23,b=13时,x2取得最大值-9+852.思路分析 问题转化为求 x2=-(3+1)+(3+1)2+42的最大值,令 t=3+1=3+1-2(0b1).(1)若 f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数 a 的值;(2)若
8、对任意的 x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,求实数 a 的取值范围.解析(1)f(x)=(x-a)2+5-a2(a1),f(x)在1,a上是减函数,又 f(x)的定义域和值域均为1,a,(1)=,()=1,即1-2+5=,2-22+5=1,解得 a=2.(2)对任意的 x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,f(x)max-f(x)min4.若 a2,a1,a+1,且(a+1)-aa-1,当 x1,a+1时,f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.(6-2a)-(5-a2)4,解得-1a3,又 a2,2a3.若 1a2,则
9、f(x)max=f(a+1)=6-a2,f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max-f(x)min4 显然成立.综上,1147-20135,所以当 k 427时,f(x)对任意的 x(0,3恒成立,故实数 k 的最小值为 427.14.(2019山西晋中模拟,20)对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b-1(a0),若存在实数x0,使f(x0)=mx0成立,则称x0为f(x)关于参数 m 的不动点.(1)当 a=1,b=-2 时,求 f(x)关于参数 1 的不动点;(2)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有关于参数 1 的两个不动点,求 a 的取值范围;(3)当 a=1,b=2
10、时,函数 f(x)在(0,2上存在两个关于参数 m 的不动点,试求参数 m 的取值范围.解析(1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-x-3,由题意得 x2-x-3=x,即 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3,故当 a=1,b=-2 时,f(x)关于参数 1 的两个不动点为-1 和 3.(2)f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a0)恒有关于参数 1 的两个不动点,ax2+(b+1)x+b-1=x,即 ax2+bx+b-1=0 恒有两个不等实根,=b2-4ab+4a0(bR)恒成立,于是=(-4a)2-16a0,解得 0a1,故当 bR 且 f(x)恒有关于参数 1 的两个不动点时,0a 0,(2)=11-2 0,=(3-)2-4 0,0 -32 2,解得 5m112.故 m 的取值范围是(5,112.思路分析(1)当 a=1,b=-2 时,解方程 f(x)=x 即可;(2)f(x)=x 即 ax2+bx+b-1=0 恒有两个不等实根,两次使用判别式即可得到 a 的取值范围;(3)问题转化为 x2+(3-m)x+1=0 在(0,2上有两个不等实数解,利用二次函数的图象列不等式组可得 m 的取值范围.
