1、4.1.2 圆的一般方程 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0变为:2222DEDE4F(x)(y),224(1)当D2+E2-4F0时,方程表示圆,圆心为 半径为 (2)当D2+E2-4F=0时,方程表示点 .(3)当D2+E2-4F0时才表示圆.2.圆的一般方程 当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.【思考】(1)圆的一般方程有什么特征?提示:(1)x2和y2的系数相同且不为0;(2)没有xy项.(2)如果点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,那么应满 足什么关系式?圆外呢?提示:若点P
2、在圆内,则 +Dx0+Ey0+F0.2200 xy2200 xy【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)圆的标准方程与一般方程可以互化.()(2)方程2x2+2y2-3x=0不是圆的一般方程.()(3)方程x2+y2-x+y+1=0表示圆.()提示:(1).圆的标准方程与一般方程可以互化.(2).方程2x2+2y2-3x=0即x2+y2-x=0,是圆的一般 方程.(3).因为(-1)2+12-41=-20,解得k0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.【习练破】1.(2019青岛高一检测)方程x2+y2-ax+2y+1=0不能表示圆,则实数a的值为()A.0
3、 B.1 C.-1 D.2【解析】选A.方程x2+y2-ax+2y+1=0转换为标准方程是 +(y+1)2=,由于该方程不能表示圆,故a=0.2a(x)22a42.方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为(1,2),半径为1的圆,则a,b,c的值依次为()A.-2,-4,4 B.2,-4,4 C.2,-4,-4 D.-2,4,-4【解析】选B.根据题意,圆心为(1,2),半径为1的圆,则 解得:22a1,2b2,21 ab4c14，a2b4?c4.，【加练固】若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围.(2)圆心坐标和半径.【解析】(1)据题意知 D2
4、+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)0,即4m2+4-4m2-20m0,解得m0),圆过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得 解方程可得 即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.10D3EF0,204D2EF0,50D7EF0，D2?E4F20 ，【内化悟】圆有标准方程、一般方程两种形式,本例中设哪一种形式解题更为简便?提示:设一般方程解题更简便.【类题通】待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.(3)解此方程组,求出D,E,F的值.(4)将所得的值
5、代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.【习练破】经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆与y轴交于M,N两 点,则|MN|=()A.2 B.2 C.3 D.4 32【解析】选A.设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆 经过点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),故 解得 故圆的方程为x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,令x=0,得y2=3,所以y=,所以|MN|=2 .1DF0,93DF0,14D2EF0 ，D2,?E0,F3 ，33【加练固】已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求ABC的外接圆的方程.【解题指南】先设出
6、圆的一般方程,根据点在圆上列方程组,解方程组求出待定系数,得外接圆方程.【解析】设ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得 解得 即ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0.222222222D2EF0,535D3EF0,3(1)3DEF0.D8,E2,F12.类型三 求动点的轨迹方程 角度1 代入法求方程【典例】(2019朝阳高一检测)已知动点A在圆x2+y2=1上移动,点B(3,0),则AB的中点的轨迹方程是()世纪金榜导学号 A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.+y2=D.+y2=23(x)21423(x)212【思维引】利用要求的
7、中点坐标表示点A的坐标,代入圆的方程.【解析】选C.设A(x0,y0),AB的中点的坐标为(x,y),由 中点坐标公式得 即 因为动点A在 圆x2+y2=1上移动,所以 =1.则(2x-3)2+(2y)2=1,整理得:(2x-3)2+4y2=1.即 00 x32x,y2y,00 x2x3,y2y2200 xy2231(x)y.24【素养探】利用代入法求轨迹时,常常用到核心素养中的数学运算和数据分析,通过坐标表示,代入化简、变形求出动点的轨迹方程.将本例的条件改为“过点A作x轴的垂线,垂足为C,点P在线段AC上,且2|AP|=|PC|”,求点P的轨迹方程.【解析】设A(x0,y0),点P的坐标为
8、(x,y),因为点P在线 段AC上,且2|AP|=|PC|,所以 则 因为点A在圆x2+y2=1上,所以x2+y2=1.00 xx2yy3，00 xx3yy2，94角度2 定义法求方程【典例】已知圆x2+y2=1,点A(1,0),ABC内接于圆,且BAC=60,当B,C在圆上运动时,BC中点D的轨迹方程是 世纪金榜导学号()A.x2+y2=B.x2+y2=C.x2+y2=D.x2+y2=121411(x)2211(x)44【思维引】利用圆周角与圆心角的关系,求出BC中点到原点的距离,从而确定轨迹及方程.【解析】选D.如图所示,因为BAC=60,又因为圆周角等于圆心角的一半,所以 BOC=120
9、,又D为BC中点,OB=OC,所以 BOD=60,在直角三角形BOD中,有OD=OB=,故 中点D的轨迹方程是:x2+y2=,如图,由BAC的极限 位置可得,x .12121414【类题通】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法:若动点P(x,y)依赖圆上的某一个动点Q(x0,y0)而运动,找到两点的关系,把x,y用x0,y0表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.提醒:注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的.【习练破】长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中
10、点M的轨迹方程为_.【解析】设M(x,y),因为AOB是直角三角形,所以|OM|=|AB|=3为定值,故M的轨迹为以O为圆心,3为半 径的圆,故x2+y2=9即为所求.答案:x2+y2=9 12【加练固】点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】选A.设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则 解得 因为点Q在圆x2+y2=4上,所以 =4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.004xx,22yy.2 00 x2x4,?y2y2.2200 xy