1、高三数学选填专题练习选填专练（7）难度评估：中等 测试时间：40分钟一、单选题(共60分)1(本题5分)在三个复数，中，有且仅有一个纯虚数，则实数为A0或2B0C1D22(本题5分)设集合，则A1，2B2，3C1，3D1，2，33(本题5分)已知函数,则函数的零点为 ABCD4(本题5分)已知正方形的中心为，且边长为1，则（ ）A-1BC1D5(本题5分)已知，则（ ）ABCD6(本题5分)在中，角的对边分别为，若，且，则ABC3D47(本题5分)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为的正方形的内切圆六等分
2、，分别以各等分点为圆心，以为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为A BCD8(本题5分)如图所示，四边形中，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的是（ ）A直线直线B直线直线C直线平面D平面平面9(本题5分)已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD10(本题5分)，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，下列选项错误的个数是（ ） 异面直线与所成的角为定值；平面；若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值
3、范围是；A0B1C2D311(本题5分)数列满足，其前项和为，若成立，则的最大值是（ ）A8B9C10D1112(本题5分)已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是ABCD二、填空题(共20分)13(本题5分)已知向量，若，则_.14(本题5分)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是_.15 (本题5分)已知直
4、线与轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与直线的交点依次为，从而得到个直角三角形，若这些三角形的面积之和为，则_16(本题5分)若，为双曲线的左、右焦点，以线段为直径作圆在轴上方交双曲线于两点，若以线段为直径作圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为_参考答案1D【分析】分别假设为纯虚数，分析可得的值【详解】若为纯虚数，则，也为纯虚数，不符合题意；，显然不为纯虚数，故为纯虚数，故选D2B【详解】分析：将集合中的元素一一代入验证，即可求解详解：易知：则3D【详解】试题分析：当时，由得；当时，由得，综上的零点只有一个且为04C【分析】运用三角形法则和平行四边形
5、法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可.【详解】在正方形,有,故选:C.5B【分析】由余弦的二倍角公式求得，再由诱导公式可得【详解】由题意，又，故选：B6C【详解】由正弦定理结合题意有：，不妨设，结合余弦定理有：，求解关于实数的方程可得：，则：.故选：C.7B【分析】由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的.求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率.【详解】连接，得等边三角形，边长为1，如图所示则阴影部分的面积为阴影，故所求概率为.故选：B.8A【解析】平面平面，平面平面，平面且，平面，且平面平面所以，正确，故选9D【分析】直线的斜率为，计算，利用余弦定理得到，化简知，得到答案
6、【详解】由题意知直线的斜率为，又，由双曲线定义知，.由余弦定理：，即，即，解得.故双曲线渐近线的方程为.故选：D10A【分析】利用线面垂直的判定求出异面直线AC与MN所成的角即可判断选项；利用线面平行的判定即可判断选项；过作,垂足为,分为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项.【详解】对于，取的中点，连接,作图如下：则，由线面垂直的判定知，平面，所以，又因为，所以，即异面直线与所成的角为定值，则正确；对于，因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以为的中位线，,又因为平面，平面，所以平面ABD，则也正确；对于，过作,垂足为,若为锐角，在线段上，如图1若为直角，与重合，
7、如图2若为钝角，在线段的延长线上，如图3图1 图2图3若存在某个位置，使得直线与直线垂直，因为，所以平面,由线面垂直的性质知,若为直角，与重合，所以,在中，因为,所以不可能成立，即为直角不可能成立；若为钝角，在线段BC的延长线上，则在原平面图菱形中，为锐角，由于立体图中,所以立体图中一定比原平面图中更小，所以为锐角，因，故点在线段BC与在线段BC的延长线上矛盾，因此不可能为钝角；综上可知，的取值范围是，则正确.故选：A.11A【分析】由可化简得，再利用裂项相消可求出，利用条件即可求解【详解】.由，.故选：A.【补充】常见的裂项相消的公式：12A【详解】由题意知必存在唯一的正实数，满足， ， ，
8、由得：，解得故，由方程在区间上有两解，即有在区间上有两解，由，可得，当时，递减；当时，递增在处取得最大值，分别作出，和的图象，可得两图象只有一个交点，将的图象向上平移，至经过点，有两个交点，由，即，解得，当时，两图象有两个交点，即方程两解故选A138【解析】【分析】由，得，解得【详解】向量，所以，所以142.【分析】设圆柱的高为，表示出表面积可得，再分别表示出，即可.【详解】解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积，则，所以，故，故答案为：2.15【分析】根据所给条件，结合几何关系，先求第个小直角三角形的面积，列式求和，最后求极限即可得解.【详解】根据题意，各个小直角三角形的底边长为，第（）个三角形的高，面积为，所以面积之和 ，故答案为：.16【解析】设点在第一象限且坐标为，以线段为直径作圆方程为，据，解得，所以点坐标为，由对称性得点，线段的中点坐标为，因为线段为直径作圆恰好经过双曲线的两个顶点，所以点与双曲线的顶点之间的距离为，化简得，故该双曲线的离心率，故答案为.