1、黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理考试时间：120分钟 满分：150分一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 设函数 ，且 ，则 A. B. C. D. 2. 下列函数求导运算正确的个数是 ； ； A. B. C. D. 3. 已知随机变量 ，若 ，则 A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，已知点和圆，在圆上任取一点，连接，则直线的斜率大于的概率是（ ）ABCD5.已知直线过抛物线的焦点，且依次交抛物线及其准线于点(点在点之间）若，则（ ）ABCD6.某校甲乙课外活动小组(两小组人
2、数相等)20次活动成绩组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，若甲乙两组平均成绩分别用，表示，标准差分别用，表示，则（ ）A， B， C， D，7某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：）之间的关系如下：x012y5?221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程：；但是现在丢失了一个数据，该数据应为（ ）A2B3C4D58. 已知函数 在 处有极值 ，则 ， 的值为 A. ，B. ， 或 ，C. ，D. ，9为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这个节目，每个同学限报个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学
3、报的节目都不相同的概率为（ ）ABCD10. 函数 的大致图象为 . A. B. C. D.11.已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点，若，则C的方程为（ ）ABCD12.定义在 上的函数 满足 ，当 时，若函数 在 内恰有 个零点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=_.14. 若函数 ，且 在 上有最大值，则 的最大值为_.15将名男生名女生共名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区
4、至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是_.16. 已知函数 在 上都存在导函数 ，对于任意的实数都有 ，当 时，若 ，则实数 的取值范围是 _.三解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. （本题满分12分）已知函数 （1）求函数的最小值；（2）求曲线 在处的切线方程.18（本题满分12分）“防控传染病，接种疫苗最有效”，而疫苗研发是一个漫长而复杂的过程，包括疫苗筛选动物实验临床试验等，以保证疫苗的安全和有效.某生物制品研究所研制某型号疫苗时，用小白鼠进行动物试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗注射疫苗总计现从所有试验
5、小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为.（1）求22列联表中的数据，的值；（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中按是否注射疫苗用分层抽样的方法抽取出10只小白鼠，若在这10只小白鼠中任取3只进行病理分析，记取到的已注射疫苗的小白鼠只数为，求的分布列和数学期望. 附：K2=，n=a+b+c+d.P(K2k0)0.050.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.82819（本题满分12分）某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了1
6、00名考生的理综成绩，将数据分成7组：160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300.并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求直方图中x的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间220，260）内的个数为，求的分布列及数学期望E（）. 20. （本题满分12分）已知椭圆 的方程为 ，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点（1）求椭圆 的方程；（2）过动点 的直线交 轴的负半轴于点 ，交 于点 ，（ 在第一象限），且 是线段 的中点，过点 作
7、轴的垂线交 于另一点 ，延长线段 交 于点 （）设直线 ， 的斜率分别为，求的值；（）求直线 的斜率的最小值21. （本题满分12分）已知函数 （1）令 ，讨论 的单调性并求极值；（2）令 ，若 有两个零点；（）求 的取值范围； （）若方程 有两个实根 ，且 ，证明：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 （1）求直线 的直角坐标方程，以及曲线 的参数方程；（2）点 是曲线 上任意一
8、点，点 在 上，且直线 与 的夹角为 ，求 的最大值 23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1）若不等式 有解，求实数 的最大值 ；（2）在（1）的条件下，若正实数 ， 满足 ，证明：.高二下学期期中考试（数学理）参考答案：选择题：D B C D A B BADACC填空题：13. 1 14.3 15. 16. 解答题：17.解：（1）令，得令，得在递减，在递增， -6（2） 在处的切线方程为即 -1218.解：（ 1）设“从所有试验动物中任取一只，取到注射疫苗动物“为事件，由，解得，由此能求出，. -3（2）求出，从而有把握认为注射此种疫苗有效. -6 （3）抽出的感
9、染病毒的小白鼠中共有8只为未注射疫苗的，有2只是注射疫苗的的可能取值为的分布列为：所以 -1219.解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）201，解得x0.0075； -2（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）200.4， -4所以随机变量Y服从二项分布YB（3，0.4），故P（Yk）C3k0.4k0.63k，k0，1，2，3， -6故Y的分布列为 Y0123 P0.216 0.4320.2880.064-10 则E（Y）30.41.2；
10、 -12 20.解: （1） 因为抛物线 的焦点是 ，所以 因为 ，且 ，所以 ，所以椭圆 的方程 -3（2） （）设点 ，那么点 为 ，因为 是线段 的中点，所以 ，所以 ，所以 ； -6（）根据题意得：直线 的斜率一定存在且 ，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 联立 整理得：， 利用韦达定理可知：，所以 所以同理可得 所以 因为 ，所以 当且仅当 ，即 时，等号成立，所以直线 的斜率的最小值为 -1221.解：（1） 因为 ，所以 ， ， ， 的变化如下：所以 单调递减区间为 ，单调递增区间为 极小值为 ，无极大值； -3（2） （i）， ，当 时，不可能有两个零点，当 时，令 ， 在
11、单调递减，令 ，得 ， 在单调递减所以 ，要使 有两个零点，即使 ,，又因为 ，且 ，所以 在（， 上有两个零点，符合题意；综上， -7（ii）证明： 有两个实根，令 ， 有两个零点 ，所以 所以 要证 ，只需证 ，即证 ，所以只需证 由可得 ，只需证 ，设 ，令 ，则 ，所以只需证 ，即证 ，令 ，则 ， 即当 时，所以 ，即 ，即 -1222. 解：（1） 由直线 的参数方程 （t为参数），得 消去 得 ，故 的直角坐标方程为 ，由 ，结合由 得 ，又 所以 ，故 的参数方程为 -5（2） 在曲线 上任意取一点 到 的距离为 ，则 ，当 时， 取得最大值，最大值为 . -1023.解：（1） 若不等式 有解，只需 的最大值 即可因为 ，当且仅当取等，所以 ，解得 ，所以实数 的最大值 -5（2） 根据（）知正实数 ， 满足 ，由柯西不等式可知 ，所以 ，因为 ， 均为正实数，所以 （当且仅当 时取“”） -10
