1、新疆哈密市第八中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1复数z满足（1+i）zi，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2曲线ysinx在x处的切线的斜率为（）ABCD3已知函数f（x）3x2+2，则f（5）（）A15B30C32D774（）ABCD5函数f（x）的单调递增区间是（）A（，1）B（1，1）C（1，+）D（，1）和（1，+）6已知f（x）x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是（）A0B1C2D37曲线yx2和y2x+3围成的封闭面积是（）ABC10D8已知直线l经过（1，0），（0，1
2、）两点，且与曲线yf（x）切于点A（2，3），则的值为（）A2B1C1D29曲线yx32x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A30B45C60D12010点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于（）ABC2D11复数z（a21）+（a+1）i（aR）为纯虚数，则a的取值是（）A3B2C1D112如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3，AA14，P是侧面BCC1B1内的动点，且APBD1，记AP与平面BCC1B所成的角为，则tan的最大值为（）ABC2D二填空题（每小题5分）.13复数的虚部是 14若函数f（x）在x1处取极值，则a 15直线l的一个方向
3、向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为 16若2xlnxx2+ax3对一切x（0，+）恒成立，则a的取值范围为 三解答题17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD平面ABCD，Q为AD的中点，PAPD，BCAD1，CD（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若异面直线AB与PC所成角为60，求PA的长；（3）在（2）的条件下，求平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值18已知函数（）求f（x）的减区间；（）当x1，1时，求f（x）的值域19如图，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，DE平面ABCD，CFDE，DE2CF，BE与平面
4、ABCD所成的角为45（1）求证：平面BEF平面BDE；（2）求二面角BEFD的余弦值20已知函数f（x）x3+ax2+bx+c在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AB2，AC4，AA13D是线段BC的中点（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1A1DC1的大小的余弦值22已知函数f（x）（x1）2x+lnx（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1ae，试判断f（x）的零点个数参考答案一、选择题（共12小题）.1复数
5、z满足（1+i）zi，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：由（1+i）zi，得，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A2曲线ysinx在x处的切线的斜率为（）ABCD解：ysinx的导数为ycosx，可得在x处的切线的斜率为cos，故选：D3已知函数f（x）3x2+2，则f（5）（）A15B30C32D77解：f（x）6x，f（5）30故选：B4（）ABCD解：故选：A5函数f（x）的单调递增区间是（）A（，1）B（1，1）C（1，+）D（，1）和（1，+）解：x0时，在（1，0），（0，1）上单调递减，f（x）在（1，1）上单调递增，即f（x
6、）的单调递增区间是（1，1）故选：B6已知f（x）x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是（）A0B1C2D3解：f（x）x3ax在1，+）上是单调增函数f（x）3x2a0在1，+）上恒成立即a3x2x1，+）时，3x23恒成立a3a的最大值是3故选：D7曲线yx2和y2x+3围成的封闭面积是（）ABC10D解：根据题意，解可得x11，x23，则曲线yx2和y2x+3围成的封闭面积S（2x+3x2）dx（x2+3x）；故选：A8已知直线l经过（1，0），（0，1）两点，且与曲线yf（x）切于点A（2，3），则的值为（）A2B1C1D2解：直线l经过（1，0），（0，1）两点，可得l：y
7、x+1，直线与曲线yf（x）切于点A（2，3），可得曲线在x2处的导数为：f（2）1，又根据导数的定义：f（2）1，故选：C9曲线yx32x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A30B45C60D120解：y3x22，切线的斜率k31221故倾斜角为45故选：B10点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于（）ABC2D解：点B是点A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影B点的坐标是（0，2，3）|OB|等于，故选：B11复数z（a21）+（a+1）i（aR）为纯虚数，则a的取值是（）A3B2C1D1解：z（a21）+（a+1）i是纯虚数a210且a+10，解之得a1
8、故选：D12如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3，AA14，P是侧面BCC1B1内的动点，且APBD1，记AP与平面BCC1B所成的角为，则tan的最大值为（）ABC2D解：以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设P（x，3，z），则（x3，3，z），（3，3，4），APBD1，3（x3）33+4z0，z，|BP|，tan，tan的最大值为故选：B二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13复数的虚部是2解：，复数的虚部是2故答案为：214若函数f（x）在x1处取极值，则a3解：f（x）因为f（x）在1处取极值，所以1是f（x）0的根，将x1
9、代入得a3故答案为315直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为解：直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，l与n的夹角为故答案为：16若2xlnxx2+ax3对一切x（0，+）恒成立，则a的取值范围为（，4）解：2xlnxx2+ax3对一切x（0，+）恒成立，可得a2lnx+x+恒成立，设g（x）+1，x0，当x1时，g（x）0，g（x）递增；0x1时，g（x）0，g（x）递减，可得x1处g（x）取得极小值，且为最小值4，可得a4故答案为：（，4）三解答题17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD平面ABCD，Q为
10、AD的中点，PAPD，BCAD1，CD（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若异面直线AB与PC所成角为60，求PA的长；（3）在（2）的条件下，求平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）ADBC，BCAD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ，ADC90，AQB90，QBAD，又平面PAD底面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BQ平面PAD，BQ平面PQB，平面PQB平面PAD解：（2）PAPD，Q为AD的中点，PQAD，平面PAD底面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ底面ABCD，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空
11、间直角坐标系，设PQa，则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，a），B（0，0），C（1，0），（1，0），（1，a），设异面直线AB与CD所成角为，异面直线AB与PC所成角为60，cos|cos，|，解得PQa2，在RtPQA中，PA（3）平面PQB的法向量（1，0，0），D（1，0，0），（1，0，2），（1，2），设平面PDC的法向量（ax，y，z），则，取x2，得（2，0，1），设平面PQB与平面PDC所成锐二面角为，则cos平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值为18已知函数（）求f（x）的减区间；（）当x1，1时，求f（x）的值域解：（I） 根据题意，函数，其导数f
12、（x）x2+2x当f（x）x2+2x0，解得x（2，0）即f（x）的减区间（2，0）；（II） 当f（x）x2+2x0，解得x（，2）（0，+）即f（x）在1，0上递减，在0，1上递增，则f（0）0，f（1）+1，f（1）+1，则f（x）的值域19如图，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，DE平面ABCD，CFDE，DE2CF，BE与平面ABCD所成的角为45（1）求证：平面BEF平面BDE；（2）求二面角BEFD的余弦值【解答】（1）证明：因为ABCD是边长为2的菱形，BAD60，所以ABD和BCD都是边长为2的正三角形，因为DE平面ABCD，所以DEDC、DEBD，又因为BE与平面A
13、BCD所成的角为45，所以EBD45，所以EDBD2，取DE中点G，连接GF、DF，又因为CFDE，DE2CF，所以四边形DCFE为矩形，于是CF平面ABCD，FGDE，EFDF，又因为BF，取BE中点M，连接MF、MD，因为EFBF，所以MFBE，因为EDBD，所以DMBE，所以DMF为平面BEF与平面BDE构成二面角的平面角，又因为DM，MF，DF，所以DF2MF2+DM2，所以DMF90，所以平面BEF平面BDE（2）解：取DC中点N，连接NB，过N作NHEF于H，连接BH，因为DE平面ABCD，所以平面EDCF平面ABCD，又因为平面EDCF平面ABCDCD，所以BN平面EDCF，于是
14、NH为BN在平面EDCF内的射影，所以EFBH，所以BHN为二面角BEFD的平面角，设其大小为，因为BH，BN2sin60，所以sin，cos，故二面角BEFD的余弦值为20已知函数f（x）x3+ax2+bx+c在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围【解答】解；（1）f（x）x3+ax2+bx+c，f（x）3x2+2ax+b由解得，f（x）3x2x2（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+
15、），递减区间是（，1）（2），当x时，f（x）+c为极大值，而f（2）2+c，所以f（2）2+c为最大值要使f（x）c2对x1，2恒成立，须且只需c2f（2）2+c解得c1或c221如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AB2，AC4，AA13D是线段BC的中点（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1A1DC1的大小的余弦值解：（1）因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1
16、（0，4，3），因为D是BC的中点，所以D（1，2，0），因为，设平面A1C1D的法向量，则，即，取，所以平面A1C1D的法向量，而，所以，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为；（2），设平面B1A1D的法向量，则，即，取，平面B1A1D的法向量，所以，二面角B1A1DC1的大小的余弦值22已知函数f（x）（x1）2x+lnx（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1ae，试判断f（x）的零点个数解：（1）f（x）（x1）2x+lnx（a0），定义域（0，+），f（x）a（x1）1+，当0a1时，令f（x）0可得，x或x1，令f（x）0可得，函数f（x）单调递增区间（），（0，1），单调递减区间（1，）；a1时，f（x）0恒成立，故函数在（0，+）上单调递增；当a1时，令f（x）0可得，0x或x1，令f（x）0可得，函数f（x）单调递增区间（1，+），（0，），单调递减区间（，1）；（2）若1ae，由（1）知函数f（x）在（1，+），（0，）单调递增，在（，1）单调递减，f（1）10，f（），令g（a），1ae，则0恒成立，g（a）在（1，e）上单调递增，g（1）g（a）g（e）0，即f（）0，x0，f（x），x+时，f（x）+，函数的图象与x轴只有一个交点即f（x）的零点个数为1