1、1集合的含义与表示课后篇巩固提升A组基础巩固1.下列各组对象能组成一个集合的是()某中学高一年级所有聪明的学生;在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;所有不小于3的正整数;的所有近似值.A.B.C.D.解析:不符合集合中元素的确定性.故选C.答案:C2.下列集合中为的是()A.0B.C.x|x2+4=0D.x|x+12x解析:集合0中有一个元素0;集合中有一个元素;集合x|x+12x表示满足不等式x+12x的x的集合,不是空集;集合x|x2+4=0表示方程x2+4=0的解集,而该方程无解,故该集合为.答案:C3.(改编题)下列集合的表示方法中,不同于其他三个的是()A.x|x=2 0
2、18B.2 018C.x=2 018D.y|(y-2 018)2=0解析:A,B,D对应的集合中只有一个元素2 018,故它们是相同的集合,而C中虽只有一个元素,但该元素是用等式作为元素,而不是实数2 018,故选项C与其他三个选项不同.答案:C4.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1B.-2C.6D.2解析:当a=1时,由a2=1,2-a=1,4组成一个集合A,A中含有2个元素;当a=-2时,由a2=4,2-a=4,4组成一个集合A,A中含有1个元素;当a=6时,由a2=36,2-a=-4,4组成一个集合A,A中含有3个元素;当a=2时,由a2=
3、4,2-a=0,4组成一个集合A,A中含有2个元素.故选C.答案:C5.定义集合运算AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合A=0,1,B=2,3,则集合AB的所有元素之和为()A.0B.6C.12D.18解析:根据AB的定义,当x=0时z=0;当x=1时,若y=2,则z=6,若y=3,则z=12.因此集合AB的所有元素和为18.答案:D6.由下列对象组成的集体属于集合的是(填序号).不超过10的所有正整数;高一(6)班中成绩优秀的同学;中央一套播出的好看的电视剧;平方后不等于自身的数.解析:中的对象是确定的,可以组成集合,中的对象是不确定的,不能组成集合.答案:7.用列举法写出集合=
4、.解析:Z,xZ,3能被3-x整除,即3-x为3的因数.3-x=1或3-x=3.=3或=1.综上可知,-3,-1,1,3满足题意.答案:-3,-1,1,38.已知集合A=x|mx2+2x+2=0中有两个元素,则实数m满足的条件为.解析:由题意知m0且=4-8m0,解得m,且m0.答案:m,且m09.用另一种方法表示下列集合:(1)-3,-1,1,3,5;(2)1,22,32,42,;(3)已知M=2,3,P=(x,y)|xM,yM,写出集合P;(4)集合A=xZ|-2x2,B=x2-1|xA,写出集合B.解:(1)x|x=2k-1,kZ,且-1k3.(2)x|x=n2,nN+.(3)P=(2,
5、2),(3,3),(2,3),(3,2).(4)因为A=-2,-1,0,1,2,所以B=3,0,-1.10.导学号85104002已知集合A由3个元素:a2,a+1,0构成,且1A,试求实数a的值.解:因为1A,所以a2=1或a+1=1.若a2=1,则a=1.当a=1时,集合A中的元素是1,2,0,符合要求;当a=-1时,集合A中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性.若a+1=1,则a=0,集合A中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性.综上可知,实数a的值为1.B组能力提升1.若b=x|ax2-4x+1=0(a,bR),则a+b等于()A.B.C.D.解析:b=x|ax2-4x+1=0,a
6、x2-4x+1=0只有一个实数根.当a=0时,b=,此时a+b=;当a0时,=16-4a=0,a=4,此时b=.a+b=4+.故a+b=或a+b=.答案:B2.已知集合A的元素满足条件:若aA,则A(a1),当A时,则集合A中元素的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:A,=2A.2A,=-3A.-3A,=-A.-A,A.集合A中有-3,-,2四个元素.答案:D3.已知集合A=x|x=2a,aZ,B=x|x=2a+1,aZ,C=x|x=4a+1,aZ.若mA,nB,则有()A.m+nAB.m+nBC.m+nCD.m+n不属于A,B,C中的任意一个解析:由mA,可设m=2a1,a1Z.由nB,
7、可设n=2a2+1,a2Z.所以得到m+n=2(a1+a2)+1,且a1+a2Z,所以m+nB,故选B.答案:B4.已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则M=.解析:若x,y,z都大于零,则代数式的值为4;若x,y,z都小于零,则代数式的值为-4;其他情况均为0,故M=-4,0,4.答案:-4,0,45.定义非空数集的一种运算:A*B=x|x=x1+x2,x1A,x2B.若A=1,2,3,B=1,2,则A*B的所有元素之和为.解析:由定义可知A*B=2,3,4,5,故A*B的所有元素之和为2+3+4+5=14.答案:146.(开放题)对于一个集合S,若aS时,有S,则称这样的
8、数集为“可倒数集”,试写出一个“可倒数集”:.答案:(答案不唯一)7.给定集合A,若对于任意a,bA,有a+bA且a-bA,则称集合A为闭集合,给出如下四个结论:集合A=-4,-2,0,2,4为闭集合;正整数集是闭集合;无理数集是闭集合;集合A=x|x=3k,kZ为闭集合,其中正确的是.(填序号)解析:中取a=-4,b=4,则a-b=-8A,故不成立;中取a=1,b=3,此时a-b=-2不是正整数,故不成立;中取a=1+,b=1-,则a+b=2A,故不成立;中取a=3k1(k1Z),b=3k2(k2Z),则a+b=3(k1+k2)A,a-b=3(k1-k2)A,故成立.答案:8.(信息题)设A
9、是整数集的一个非空子集,对于kA,若k-1A,且k+1A,则称k是A的一个“孤立元”.给定集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,在由S的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为.解析:题目中的“孤立元”的含义就是不相邻,所以不含“孤立元”的集合中的元素必是连续的三个数,共有1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8这6个.答案:69.设A是由一些实数构成的集合,若aA,则A,且1A.(1)若3A,求集合A;(2)证明:若aA,则1-A;(3)集合A能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.(1)解:3A,=-A,A,=3A,A=.(2)证明
10、:aA,A,=1-A.(3)解:假设集合A只有一个元素,记A=a,则a=,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.=(-1)2-4=-30,a2-a+1=0无实数解.这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,假设不成立,即集合A不能只有一个元素.10.导学号85104003已知集合M=x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.解:根据集合中元素的互异性知,当方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合的一个元素,又M=x|(x-a)(x-1)x-(a-1)=0.当a=1时,M=1,0,不符合题意;当a-1=1,即a=2时,M=1,2,符合题意;当a1,且a2时,a+1+a-1=3,则a=,M=,符合题意.综上所述,实数a的值为2或,当a=2时,M=1,2;当a=时,M=.