1、解答题：立体几何1.如图，正方形和直角梯形所在的平面互相垂直，.(1)求证：平面；(2)求证：平面.2.如图，三棱柱中，.(1)证明：；(2)若，求三棱柱的体积.3.如图，四棱锥中，底面为线段上一点，为的中点.(1)证明平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.4.如图，在四棱锥中，且.(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.5.如图，三棱锥中，平面平面，点分别是棱的中点，点是的重心.(1)证明：平面；(2)若与平面所成的角为60，求二面角的余弦值.6.如图1，平面四边形中，为的中点，将沿对角线折起，使，连接，得到如图2所示的三棱锥.(1)证明：平面平面；(2)已知直线与平面所成的角为
2、，求二面角的余弦值.7.如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形.(1)证明：直线平面.(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是?若不存在，请说明理由；若存在，请求出点所在的位置.8.如图，在三棱锥中，为的中点.(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且二面角为30，求与平面所成角的正弦值.答案以及解析1.答案：(1)如图，设正方形的对角线与交于点，连接，由题知.因为，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.(2)因为平面平面，平面平面平面，所以平面.连接，易知四边形为边长为1的正方形，所以平面，所以，所以为等腰三角形，.因为，所以.同理，在中，.因为，所以平面
3、.2.答案：(1)如图，取的中点，连接.因为，所以.由于，故为等边三角形，所以.因为，所以平面.又平面，故.(2)由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以.又，则，故.因为，所以平面，即为三棱柱的高.又的面积，故三棱柱的体积.3.答案：(1)由已知得.取的中点，连接.由为的中点知.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面平面，所以平面.(2)取的中点，连接.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，.设为平面的法向量，则即可取.于是，则直线与平面所成角的正弦值为.4.答案：(1)由已知，得.由于，故，从而平面.又平面，所以平面平面.(2)如图，在
4、平面内作，垂足为.由(1)可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)及已知可得.所以.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则.所以二面角的余弦值为.5.答案：(1)连接，连接并延长，交于点，可知点是的中点，分别是棱的中点，平面平面，平面平面，平面平面平面，平面平面.(2)连接是的中点，平面平面，平面平面平面，平面，连接并延长交于点，则为的中点，连接，则，平面是与平面所成的角，在中，设，则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图.则，设平面的法向量，则取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则
5、，二面角的余弦值为.6.答案：(1)在三棱锥中，因为，所以平面.又平面，所以，因为为的中点，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.(2)由(1)可知即为直线与平面所成的角，所以，故.如图，作交于点，由(1)知两两垂直，以为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，易知平面的一个法向量，又，设平面的法向量为，则令，得，所以，由图可知该二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.7.答案：(1)依题意知，在平面中，又平面平面平面.在平面中，又平面平面平面.平面平面平面平面.又平面直线平面.(2)设的中点为，如图，连接，由题意可得两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.易知，则.假设在线段上存在一点，使得二面角的余弦值是.设，则.设为平面的法向量，由得可取，则.又平面的一个法向量，又.经验证，满足题意，存在满足条件的点为的中点.8.答案：(1)因为为的中点，所以，且.连接.因为，所以为等腰直角三角形，且.由知.由知平面.(2)如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得.取平面的一个法向量.设，则.设平面的法向量为.由得可取，所以.由已知可得，所以，解得(舍去)，所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.