1、易错点 31 曲线与方程 一、单选题 1.已知(2,0)，(2,0)，平面内一动点 P 满足|+|=4，则动点 P 的轨迹为 A.圆 B.直线 C.椭圆 D.线段 已知三棱柱 ，平面 ABC，P 是 内一点，点 E，F 在直线 BC 上运动，若直线 PA 和 AE 所成角的最小值与直线 PF 和平面 ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点 P 的轨迹是 A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆的一部分 2.如图，已知点 P 在焦点为1、2的椭圆上运动，则与 12的边2相切，且与边12，1的延长线相切的圆的圆心 M 一定在 A.一条直线上 B.一个圆上 C.一个椭圆上
2、D.一条抛物线上 3.设直线 l 与椭圆216+28=1相交于,两点，与圆(1)2+2=2(0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 A.(1,6)B.(2,7)C.(2,6)D.(1,7)4.在直角坐标平面内，已知(2,0)，(2,0)以及动点 C 是 的三个顶点，且sinsin 2cos=0，则动点 C 的轨迹曲线的离心率是 A.22 B.32 C.2 D.3 5.古希腊数学家波罗尼斯(公元前262 190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内
3、与两定点距离的比为常数(0，且 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆22+22=1(0)，A，B 为椭圆的长轴端点，C，D 为椭圆的短轴端点，动点 M 满足|=2，面积的最大值为 8，面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为 A.23 B.33 C.22 D.32 6.数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学学习中数和形是两个最主要的研究对象，在一定条件下数和形之间可以相互转化，这样代数问题可以转化为几何问题加以解决如：与()2+()2相关的代数问题可以转化为点(,)与点(,)之间距离的几何问题，由此观点，满足方程2+4+2+4 2 4+2+4=2的点的轨迹为
4、 A.2 23=1(1)B.2 23=1(1)C.24 23=1(2)D.24 23=1(2)7.过点(0,2)的直线 l 与圆2+2=9相交于 A，B 两点，不在直线 l 上的点 C 满足=2，当线段 AB 最小时，则 的面积的最大值为 A.12 B.65 C.10 2 D.4 二、填空题 8.已知定点(2,0)，(2,0)，若动点 M 满足|+|=8，则|的取值范围是_ 9.在平面直角坐标系内，到两个定点(3,0)与(3,0)的距离之和为 6 的点的轨迹方程是_ 10.在平面上给定相异两点 A、B，在同一平面上的点 P 满足|PA|PB|=，当 0且 1时，P 点的轨迹是一个圆这个轨迹最先
5、由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆现有椭圆22+22=1(0)，A、B 为椭圆的长轴端点，C、D为椭圆的短轴端点，动点 P 满足|PA|PB|=2，PAB的面积的最大值为163，PCD面积的最小值为23，则椭圆的离心率为_ 11.已知中，=2，=2，则面积的最大值为_ 三、解答题 12.已知点 C 为圆2+2=1上一点，轴于点 A，轴于点 B，点 P 满足OP=2 OA+OB(为坐标原点)，点 P 的轨迹为曲线 E(1)求 E 的方程；(2)斜率为32 的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 M、N，是否存在定点 T，使得直线 TM、TN的斜率之和恒为0.若存在，则求出点
6、 T 的坐标；若不存在，则请说明理由 13.已知圆1:2+2+4 32=0，圆2:2+2 4=0，点 A 为两圆的公共点，点(异于点)在过点 A 且垂直于 x 轴的直线 l 上，直线1与圆1切于点1(异于点)，直线2与圆2切于点2(异于点)，直线11交直线22与点 M(1)交点 M 的轨迹的方程(2)直线1与轨迹的另一个交点 N，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得1=1?若存在，求出定点的坐标;若不存在，请说明理由 14.在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点1(0,3)、2(0,3)的距离之和等于 4，设点 P的轨迹为曲线 C，直线=+1与曲线 C 交于 A、B 两点(1)求出 C 的方程
7、；(2)若=1，求的面积；(3)若 ，求实数 k 的值 15.在平面直角坐标系 xOy 中，已知(10,0)，(52,0)，动点 M 满足|=2|，记 M轨迹是 C()求 C 的方程；()过 A 作 C 的两条切线，切点分别记为,，求直线 ST 的方程；()过 A 作直线 l 交 C 于,两点，交()中直线 ST 于点 R，问是否存在常数 t，使得1|+1|=|一、单选题 1、已知(2,0)，(2,0)，平面内一动点 P 满足|+|=4，则动点 P 的轨迹为 A.圆 B.直线 C.椭圆 D.线段【答案】D【解析】略 已知三棱柱 ，平面 ABC，P 是 内一点，点 E，F 在直线 BC 上运动，
8、若直线 PA 和 AE 所成角的最小值与直线 PF 和平面 ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点 P 的轨迹是 A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆的一部分【答案】C【解析】解：过 P 作 平面 ABC，垂足为 O，由最小角定理可知，直线PA和AE所成角的最小值为PA与平面ABC所成角的大小，即的大小，直线 PF 和平面 ABC 所成的角为，由tan=可知，要使最大，需使 OF 最小，即 又因为tan=，直线 PA 和 AE 所成角的最小值与直线 PF 和平面 ABC 所成角的最大值相等，所以=，即 O 点到 A 点的距离等于到直线 BC 的距离，所以点 P的轨
9、迹是抛物线的一部分 故选 C 2、如图，已知点 P 在焦点为1、2的椭圆上运动，则与 12的边2相切，且与边12，1的延长线相切的圆的圆心 M 一定在 A.一条直线上 B.一个圆上 C.一个椭圆上 D.一条抛物线上【答案】A【解析】解：如图，设圆 M 与12，1，2分别相切于 A，B，C 由切线定理得：|=|，|2|=|2|，|1|=|1|，因为 P 在椭圆上，|1|+|2|=2|1|+|1|=|1|+|+|12|+|2|=|1|+|2|+|12|=2+2为定值|1|=|1|=+切点(,0)圆心 M 在过 A 垂直于椭圆所在轴的直线上 故选 A 3、设直线 l 与椭圆216+28=1相交于,两
10、点，与圆(1)2+2=2(0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 A.(1,6)B.(2,7)C.(2,6)D.(1,7)【答案】D【解析】解：设(1,1)，(2,2)，(0,0)，可得1216+128=1，2216+228=1，两式相减，整理得2(1+2)(1 2)=(1 2)(1+2)，由1+2=20，1+2=20，当 l 的斜率存在时，设为 k，=1212，可得20=0，圆(1)2+2=2(0)的圆心为(1,0)，半径为 r，因为直线与圆相切，所以001=1，所以0=2，即 M 的轨迹是直线=2 将=2代入椭圆方程，得2=6，
11、6 0 6，在圆上，(0 1)2+02=2，2=02+1 7，直线 l 恰有 4 条，0 0，1 2 7，故1 7时，直线 l 有 2 条；斜率不存在时，直线 l 有 2 条；所以直线 l 恰有 4 条，1 0，且 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆22+22=1(0)，A，B 为椭圆的长轴端点，C，D 为椭圆的短轴端点，动点 M 满足|=2，面积的最大值为 8，面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为 A.23 B.33 C.22 D.32 【答案】D【解析】解：设(,0)，(,0)，(,)动点 M 满足|=2，则(+)2+2=2()2+2，化简得(53)2+2=1629
12、面积的最大值为 8，面积的最小值为 1，12 2 43 =8，12 2 13 =1，解得=6，=62，椭圆的离心率为1 22=32 故选：D 6、数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”，数学学习中数和形是两个最主要的研究对象，在一定条件下数和形之间可以相互转化，这样代数问题可以转化为几何问题加以解决如：与()2+()2相关的代数问题可以转化为点(,)与点(,)之间距离的几何问题，由此观点，满足方程2+4+2+4 2 4+2+4=2的点的轨迹为 A.2 23=1(1)B.2 23=1(1)C.24 23=1(2)D.24 23=1(2)【答案】A【解析】解：2+4+2+4 2 4+
13、2+4=2，(+2)2+2 (2)2+2=2，方程表示到两点(2,0)，(2,0)的距离之差为 2，两点(2,0)，(2,0)间的距离为 4，满足方程2+4+2+4 2 4+2+4=2的点的轨迹是以(2,0)，(2,0)为焦点的双曲线的右支，满足方程2+4+2+4 2 4+2+4=2的点的轨迹方程为2 23=2(1)故选：A 7、过点(0,2)的直线 l 与圆2+2=9相交于 A，B 两点，不在直线 l 上的点 C 满足=2，当线段 AB 最小时，则 的面积的最大值为 A.12 B.65 C.10 2 D.4【答案】C【解析】解：圆2+2=9，直线 l 与圆相交于 A，B 两点，设圆心(0,0
14、)到直线 l 的距离为 d，=29 2，当线段 AB 最小时，d 最大，直线 l 恒过定点(0,2)，当 即/轴时，线段 AB 最小 此时(5,2)，(5,2)，设(,)，=2，2=22，即(+5)2+(2)2=2(5)2+(2)2，整理得：2+2 65 4+9=0，即(35)2+(2)2=40，点 C 在以(35,2)为圆心，210为半径的圆上，设三角形 ABC 的面积为 S，点 C 到 AB 的距离即 AB 边上的高为 h，=12，由=25，圆心 M 在直线 AB 上，=210，当=210时，S 最大为12 25 210=102 故选 C 二、填空题 8、已知定点(2,0)，(2,0)，若
15、动点 M 满足|+|=8，则|的取值范围是_【答案】2,6【解析】解：动点 M 满足|+|=8|=4，则 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，所以=4，=2，又|,+，|2,6 故答案为2,6 9 在平面直角坐标系内，到两个定点(3,0)与(3,0)的距离之和为 6 的点的轨迹方程是_【答案】=0，3,3【解析】解：到两个定点(3,0)与(3,0)的距离之和为 6 的点的轨迹方程是一条线段，且线段是在 x 轴上，故可得到两个定点(3,0)与(3,0)的距离之和为 6 的点的轨迹方程是=0，3,3，故答案为=0，3,3 10、在平面上给定相异两点 A、B，在同一平面上的点 P 满足|PA|PB
16、|=，当 0且 1时，P 点的轨迹是一个圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆现有椭圆22+22=1(0)，A、B 为椭圆的长轴端点，C、D 为椭圆的短轴端点，动点 P 满足|PA|PB|=2，PAB的面积的最大值为163，PCD面积的最小值为23，则椭圆的离心率为_【答案】32 【解析】解：由题意可得(,0)，(,0)，设(,)，|=2|，所以(+)2+2=2()2+2，两边平方可得：(53)2+2=(43)2，故为圆心(53,0)，半径=43 的圆，所以()=12 2 43 =163，解得=2，()=12 2(53 43)=3=23，所以可得=1，所以离心
17、率=1 ()2=32 故答案为：32 11、已知中，=2，=2，则面积的最大值为_【答案】43【解析】解：设(1,0)，(1,0)，(,)，则由=2得，(+1)2+2=2(1)2+2，化简得(53)2+2=169，所以 A 点轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，所以 面积的最大值为12 2 43=43 故答案为43 三、解答题 12、已知点 C 为圆2+2=1上一点，轴于点 A，轴于点 B，点 P 满足OP=2 OA+OB(为坐标原点)，点 P 的轨迹为曲线 E(1)求 E 的方程；(2)斜率为32 的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 M、N，是否存在定点 T，使得直线 TM、TN
18、 的斜率之和恒为0.若存在，则求出点 T 的坐标；若不存在，则请说明理由【答案】解：()设(,)，(,)，则(,0)，(0,)，因为=2 +，所以(,)=2(,0)+(0,)=(2,)，即有=2，=，因为点 C 在圆上，故有(2)2+2=1，整理得24+2=1，故 E 的方程为：24+2=1；()设直线 l 方程为=32 +，代入曲线 E 的方程可得2+3+2 1=0 设(1,1)，(2,2)，=32 4(2 1)0即2 4=|12|根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以1,2为焦点的椭圆(不含 x 轴的交点)，且2=8,2=4 所以=4,=2，所以2=12 故点 M 的轨迹的方程为216+21
19、2=1(0)(2)当直线1的斜率不存在时，易知,两点关于 x 轴对称，所以当点 Q 为 x 轴上的任意点时，均为1=1 当直线1的斜率存在时，由(1)知，直线1的斜率不为零 设直线1的方程为=2(0)，代入轨迹的方程，得(32+4)2 12 36=0 设(1,1),(2,2)，则1+2=1232+4,12=3632+4 设(,0)，若1=1，则+=0，即11+22=0，即1(2 )+2(1 )=0，即 1(2 2 )+2(1 2 )=0，即212 (2+)(1+2)=0 即7232+4 (2+)1232+4=0，得=8，综上可得，在 x 轴上存在定点(8,0)，使得1=1 14、在直角坐标系
20、xOy 中，点 P 到两点1(0,3)、2(0,3)的距离之和等于 4，设点 P的轨迹为曲线 C，直线=+1与曲线 C 交于 A、B 两点(1)求出 C 的方程；(2)若=1，求的面积；(3)若 ，求实数 k 的值【答案】解：(1)设(,)，由题意可知，点 P 的轨迹是以1(0,3)，2(0,3)为焦点的椭圆 由=3，2=4即=2 由2 2=2可得，=1 椭圆的方程为2+24=1；(2)设(1,1)，(2,2)，当=1时，直线方程为=+1，联立=+12+24=1可得52+2 3=0，解方程可得，=1或=35，从而可得(1,0)，(35,85)，点 O 到直线 L：=+1的距离=22，=(1 3
21、5)2+(0 85)2=825，=12 =12 825 22=45，(3)设(1,1)，(2,2)联立方程=+12+24=1 可得，(4+2)2+2 3=0，则1+2=24+2，12=34+2，=12+12=0，B 在直线=+1上 12=(1+1)(2+1)=212+(1+2)+1=324+2 224+2+1=4424+2，34+2+4424+2=0 42 1=0 =12 15、在平面直角坐标系 xOy 中，已知(10,0)，(52,0)，动点 M 满足|=2|，记M 轨迹是 C()求 C 的方程；()过 A 作 C 的两条切线，切点分别记为,，求直线 ST 的方程；()过 A 作直线 l 交
22、 C 于,两点，交()中直线 ST 于点 R，问是否存在常数 t，使得1|+1|=|【答案】解：()由题意，设(,)，(10,0)，(52,0)，动点 M 满足|=2|，(10)2+2=2(52)2+2，化简得2+2=25，的方程为2+2=25；()过 A 作 C 的两条切线，切点分别记为,，则切点,是圆2+2=25与以 OA 为直径的圆(5)2+2=25的交点，两圆的方程联立2+2=25(5)2+2=25，可得直线 ST 的方程为=52；()存在=2，使得1|+1|=|设直线 l 的方程=(10)与圆2+2=25联立=(10)2+2=25消去 y 得，(1+2)2 202+1002 25=0，设,两点坐标分别为(1,1)，(2,2)，R 点坐标为(52,152)，则1+2=2021+2，12=1002251+2，1|+1|=|+|=|+|2=1+220(1+2)75=1+2(202021+2)75=4151+2，|=(10 52)2+(152)2=152 1+2，1|=2151+2，当=2时，有1|+1|=|成立