1、第44讲 解析几何中的极点极线问题 一选择题（共4小题）1（2021柯桥区模拟）过点的两条直线，分别与双曲线相交于点，和点，满足，且若直线的斜率，则双曲线的离心率是ABC2D【解答】解：设，则，且，则，即，则，同理可得：，则，且，即，双曲线的离心率故选：2（2021武汉模拟）已知椭圆内有一点，过的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中，且，若变化时，的斜率总为，则椭圆的离心率为ABCD【解答】解：设，、，、，、，由，即，则，同理可得，则，将点，的坐标代入椭圆方程作差可得，即，则，同理可得，得，又，则，则椭圆的离心率，故选：3（2021武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过
2、双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，则直线，的斜率之比ABCD【解答】解：由已知得双曲线，故，设直线，且，由消去整理得，两式相比得，将代入得：上式故故选：4（2021湖北月考）已知椭圆的左右顶点分别为，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，则AB3CD2【解答】解：由椭圆的方程可知：，所以，则，设，设直线的方程为：，则，直线的方程为：，直线的方程为：，联立解得：，所以，联立方程，消去化简可得：，所以，所以，代入式得，因为，所以，故选：二填空题（共4小题）5已知椭圆内有一点过点的两条直线分别与椭圆相交于和，两点若，若直线的斜率为，则该椭圆的离
3、心率为【解答】解：设，、，、，、，由，可设，即，则，同理可得，则，将点，的坐标代入椭圆方程作差可得，即，则，同理可得，得，又，则，则椭圆的离心率，故答案为：6（2021龙凤区校级月考）已知椭圆内一点，过点的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中且，若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为【解答】解：设，即，同理可得，两点均在椭圆上，两式相减整理得，即，同理可得，得，又，即，离心率故答案为：7设为椭圆的右焦点，过椭圆外一点作椭圆的切线，切点为，若，则点的轨迹方程为【解答】解：设切点，则椭圆的切线方程为：设，联立解得：点的轨迹方程为：故答案为：8（2021南通模拟）若椭圆的焦点在轴上，过
4、点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【解答】解：设过点的圆的切线为，即当直线与轴垂直时，不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点；当直线与轴不垂直时，原点到直线的距离为：，解之得，此时直线的方程为，切圆相切于点，；因此，直线斜率为，直线方程为直线交轴交于点，交轴于点椭圆的右焦点为，上顶点为，可得，椭圆方程为故答案为：三解答题（共32小题）9（2021朝阳区校级期中）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为（）求椭圆的方程；（）如图，已知，是椭圆上不同于顶点的两点，直线与交于点，直线与交于点若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程【解答】解：（1
5、）点在椭圆上，又直线与直线的斜率之积为，解得，椭圆的方程为：（2）设，联立，得，直线的直线方程为，的直线方程为，联立，解得，同理，直线的方程为10（2021常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，点，分别是椭圆的左、右顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程；（2）当直线过椭圆的短轴顶点时，求的面积【解答】解：（1）由题意，因为，得，所以椭圆的方程为（2）直线的方程为，得所以直线的方程，联立方程组，化简得，解得，得点又点到直线的距离，所以11（2021邗江区校级期中）如图，已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，过且斜率
6、为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方（1）求椭圆的标准方程；（2）记，的面积分别为，若，求的值；（3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，的斜率分别为，求的值【解答】解：（1）设椭圆的焦距为依题意可得，解得，故所以椭圆的标准方程为（2）设点，若，则，即有，设直线的方程为，与椭圆方程，可得，可得，将代入可得，解得，则；（3）由（2）得，所以直线的方程为，令，得，即所以所以12（2021春射洪市期末）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，、分别是椭圆的左、右顶点，短轴为，长轴长是焦距的2倍，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于、两点（1）若时，记、的面积分别为、，求的值；（2）记直线、的斜率分别
7、为、，是否存在常数使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）因为，所以，又因为，所以，所以椭圆的标准方程为：设点，、，且，因为，所以的方程为，联立得：，所以，又，因为所以原式（2）假设存在常数使成立，设直线的方程为，由消去得，又，因此，故13（2021全国模拟）椭圆的右焦点为，规定直线为椭圆的右准线，椭圆上的任意一点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为已知椭圆（1）若点，是椭圆上的任意一点，求的最小值；（2）若，分别是椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，非顶点），证明：直线与的交点在椭圆的右准线上【解答】解：（1）根据条件可得椭圆的右准线为，若垂直于右准线，如
8、图，则，即，所以，故当仅当，三点共线时，最短，即为到右准线的距离，故的最小值为5；证明：（2）由题意，设，联立得：，则，又，则，当时，而，即，所以直线与的交点在椭圆的右准线上，得证14（2021南平二模）已知椭圆（）若椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得弦长为求椭圆方程；过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，若，求直线的斜率；（）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，且，类比（）直接写出直线的斜率（不必证明）【解答】解：（）椭圆，椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得弦长为，解得，（2分）椭圆的方程为（3分）设点则，故，（5分）点在椭圆上，
9、则整理得（6分）由点在椭圆上知，故（7分）又，则同理可得（8分）得由题意可知，则直线的斜率为（10分）（）直线的斜率为（13分）15（2021安徽模拟）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于，和，若（）证明：直线的斜率为定值；（）过点作的平行线，与椭圆交于，两点，证明：点平分线段【解答】解：（）设，则，点在椭圆上，即，整理得，又点在椭圆上，从而可得又，故有同理可得得，点不在坐标轴上，又易知不与坐标轴平行，直线的斜率，为定值；（）直线的方程为，代入椭圆方程得，整理得到，故16（2021安阳三模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其短轴长为2，离心率为点，为椭圆内一定点
10、（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于点，和，且（）求椭圆的标准方程；（）证明：直线的斜率为定值【解答】（）解：短轴长为2，离心率为，焦点在轴上，椭圆的标准方程；（）证明：设，点在椭圆上，又点在椭圆上，从而可得又，故有同理可得得，点不在坐标轴上，又易知不与坐标轴平行，直线的斜率，为定值17（2021南昌一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的动直线与抛物线交于，两点，直线过点，且点关于直线的对称点，（1）求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；（2）过点且垂直于的直线交轴于点，与抛物线的另一个交点分别为，记的面积为，的面积为，求的取值范围【解答】解：（1），在定直线上，表示到直线的距离
11、，因为关于的对称点为，故，即抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离，直线即为准线，所以，即，抛物线的方程为；证明：，因为，所以的斜率为，由可得，点处的切线的斜率为，故直线是抛物线的切线；（2）设，则，则，设直线的方程为，与联立，可得，所以，则的方程为，令，可得，即，因为，三点共线，可得，又，三点共线，且，所以，可得，故，将，代入上式，化简可得，所以的取值范围是18（2021金华模拟）如图，已知抛物线，过点的直线斜率为，与抛物线交于，两点（）求斜率的取值范围；（）直线与轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，设直线与直线的交点的横坐标为，是否存在这样的，使，若存在，求出的值，若不存在，请
12、说明理由【解答】解：（）根据题意设直线的方程为，即，联立，得，所以，因为直线与抛物线交于，两点，则，所以，解得，又，所以的取值范围为（）由题知，设，由（）知，因为直线与轴交于，因为直线过点且斜率为，所以直线的方程为，联立，得，所以，所以，即且，所以，所以直线的方程为，所以，所以直线的方程为，联立得，解得，所以，因为，所以，所以点的横坐标为，所以19（2021新津县校级月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由【解答】解：（1）由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物
13、线的方程为；（2）证明：设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设，由，可得直线的方程为，由得，解得或，从而，又，故直线的方程为，从而又直线的方程为，所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切20（2015四川）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（）直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为，点，在椭圆上，又离心率是，解得，椭圆的方程为：；（）
14、结论：存在与点不同的定点，使得恒成立理由如下：当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，如果存在定点满足条件，则有，即点在直线轴上，可设当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于、两点，则、的坐标分别为、，又，解得或若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是法一：下面证明：对任意直线，均有当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，、的坐标分别为，、，联立，消去并整理得：，已知点关于轴对称的点的坐标为，又，即、三点共线，法二：当斜率存在时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，易知，则相似于，则，若证上命题，则需证直线与直线交于点时关于轴对称，则要证，联立，消去并
15、整理得：，可证得，所以相似于进而得证：，当斜率不存在时，由上可知，结论也成立故存在与点不同的定点，使得恒成立21（2021秋西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为（）求抛物线的方程；（）设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点【解答】解：（）抛物线的焦点，到直线的距离为，解得或，（舍，抛物线的方程为（）设，设切点为，曲线，则切线的斜率为，化简，得，设，则，是以上方程的两根，直线为：，化简，得：，定点22（2021秋西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为（）求抛物线的方程；（）设点，为直线上一动点，
16、过点作抛物线的两条切线，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；（）过（）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，求，交点满足的轨迹方程【解答】解：（）抛物线的焦点，到直线的距离为，解得或，（舍，抛物线的方程为（）设，设切点为，曲线，则切线的斜率为，化简，得，设，则，是以上方程的两根，直线为：，化简，得：，定点（）设，过的切线，过的切线，交点，设过点的直线为联立，得，点满足的轨迹方程为23（2021越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点设抛物线的焦点为（1）若点在抛物线上且，求抛物线的方程；（2）证明为定值【解答
17、】解：（1）若点在抛物线上且，由抛物线的焦点，准线方程为，可得，解得，则抛物线的方程为；（2）证明：将直线与抛物线方程联立，解得，关于点的对称点为，的方程为，与抛物线方程联立，解得，为定值24（2021浙江）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上（）设中点为，证明：垂直于轴；（）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围【解答】解：（）证明：可设，中点为的坐标为，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，可得，化简可得，为关于的方程的两根，可得，可得，则垂直于轴；（另解：设，的中点分别为，交于，为的中位线，又为的中点，为的中点，设，由，解得，所以垂直于轴）（
18、）若是半椭圆上的动点，可得，由（）可得，由垂直于轴，可得面积为，可令，可得时，取得最大值；时，取得最小值2，即，则在递增，可得，面积的取值范围为，25（2021金安区校级期末）如图所示，已知点，是轴左侧一点，抛物线上存在不同的两点，中点为，的中点均在上（1）求证：；（2）若是半椭圆上的动点，求长度的取值范围【解答】解：（1）证明：设，因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根为，所以（2）由（1）可知所以，即，又，26（2021杨浦区期末）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在抛物线上（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，证
19、明：；（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值【解答】（1）解：由抛物线，得，则，抛物线的焦点到准线的距离为2；（2）证明：，设，中点为的坐标为，则，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上，可得，化简可得，为关于的方程的两根，可得，可得；（3）解：若是曲线上的动点，可得，由（2）可得，由垂直于轴，可得面积为，令，得时，取得最大值时，取得最小值2，即，则在递增，可得，面积的最小值为27（2021怀化一模）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与
20、的面积分别为和，求最小值【解答】解：（1）证明：设，因为直线，的中点在抛物线上，所以，为方程的两个根，即，的两个不同的实数根，所以，所以垂直于轴（2）根据题意可得，设，则，所以，则或，因为，位于轴的两侧，所以，设直线的方程为，联立，得，所以，则，所以直线过定点，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为628（2021秋通州区期末）如图，已知椭圆经过点，离心率（）求椭圆的标准方程；（）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，的斜率分别为，求证：，成等差数列【解答】解：（）由点在椭圆上得，由得，故椭圆的标准方程为（4分）（）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直
21、线的方程为（5分）代入椭圆方程，整理得（6分）设，则有（7分）在方程中，令得，从而，（9分）又因为、共线，则有，即有，所以将代入得，（12分）又，所以，即，成等差数列（13分）29（2013江西）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）椭圆经过点，可得由离心率得，即，则，代入解得，故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设的斜率为，则直线的方程为代入椭圆方程并整理得设，在方程中，令得，的坐标为，从而，注意到，共线，则有，即有所以
22、代入得又，所以故存在常数符合题意方法二：设，则直线的方程为令，求得从而直线的斜率为，联立，得，则直线的斜率，直线的斜率为所以，故存在常数符合题意30（2021张掖期末）如图，椭圆的两顶点，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点（1）当时，求直线的方程；（2）当点异于，两点时，求证：点与点横坐标之积为定值【解答】解：（1）由椭圆的焦点在轴上，由，则，椭圆的标准方程：；当直线的斜率不存在时，与题意不符，设直线的方程为，整理得，则，解得直线的方程为或；（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设，的坐标为，由（1）可知：，直线的方程为则直线的方程为联立，解得：，由，代入上式
23、得：，不妨设，又，代入化简得，故点的横坐标为，则，即点与点横坐标之积为定值31（2021秋枣强县校级期末）椭圆的两顶点为，如图，离心率为，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点（）当时，求直线的方程；（）当点异于，两点时，求证：为定值【解答】解：（）由题意，设椭圆的标准方程为，由已知得：，所以，椭圆的方程为，当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程化简得，则，解得：，所以直线的方程为，（）证明：当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，点的坐标为，由（）知，且直线的方程为，且直线的方程为，将两直线联立，消去得，与异号，与异号，与同号，解得
24、，故点坐标为，故为定值32（2015秋成都校级月考）在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为设过点的直线，与此椭圆分别交于点，其中，（）设动点满足：，求点的轨迹；（）设，求点的坐标；（）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标【解答】解：（）由题设得，设动点，由，代入化简得，故点的轨迹为直线（4分）（）由，得，则点，直线的方程为，由，得，则点，直线的方程为，由（8分）（）证明：由题设知，直线的方程为：，直线的方程为：，点，满足；点，满足；若，且，得，此时直线的方程为，过点；若，则，直线的斜率，直线的斜率，直线过点因此直线必过轴上一定点（13分
25、）33（2021春南开区校级月考）已知椭圆的右焦点为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若求证：直线经过定点【解答】解：（1）设椭圆的焦距为，则，解得，椭圆的方程为；（2）证明：设，由消去得：，由韦达定理得，由与，可得直线的方程为：，同理：，又，化简得，将代入并化简有：，或（舍直线的方程为：，经过定点34（2021北京）已知椭圆的右焦点为，且经过点（）求椭圆的方程；（）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点若，求证：直线经过定点【解答】解：（）椭圆的右焦点为，且经过点可得，则椭圆方程为；（）证明：
26、与椭圆方程联立，可得，设，的方程为，令，可得，即，；的方程为，令，可得即，即为，即有，由，解得，满足，即有直线方程为，恒过原点35（2012福建）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点证明以为直径的圆恒过轴上某定点【解答】解：（1）依题意，设，则，在上，抛物线的方程为；（2）由（1）知，设，则，即由得，取，此时，以为直径的圆为，交轴于点或取，此时，以为直径的圆为，交轴于点或故若满足条件的点存在，只能是，证明如下故以为直径的圆恒过轴上的定点36（2013崇明县一模）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于，两
27、点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究：以为直径的圆与轴的位置关系？在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）的周长为8，又当面积最大时为正三角形，椭圆的方程为（2）由，得方程由直线与椭圆相切得，求得，中点到轴距离所以圆与轴相交假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为，由，得，即所以定点为37（2021江西）如图，已知双曲线的右焦点为，点，分别在的两条渐近线上，轴，为坐标原点）（1）求双曲线的方程；（2）过上一点，的直线与直线相交
28、于点，与直线相交于点证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值【解答】（1）解：依题意知，设，整理得：，双曲线的方程为；（2）证明：由（1）知，的方程为：，又，直线与直线相交于点，与直线相交于点于是可得，又因为，在上，所以有，38（2021青浦区三模）曲线（1）若曲线表示双曲线，求的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的范围；（3）设，曲线与轴交点为，在上方），与曲线交于不同两点，与交于，求证：，三点共线【解答】解：（1）若曲线表示双曲线，则：，解得：，；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，则：解得：，（8分）证明：（3）当，曲线可化为：，当时，故点坐标为：，将直线代入椭圆方程得：，若与曲线交
29、于不同两点，则，解得：，（10分）由韦达定理得：，（12分）设，方程为：，则，（14分），欲证，三点共线，只需证，共线，即，将代入可得等式成立，则，三点共线得证39（2011春绍兴校级期末）设椭圆过点，离心率为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关【解答】解（）由题意解得，所求椭圆方程为（）设点，由题设又，四点共线，可得，于是（1）（2）由于，在椭圆上，将（1），（2）分别代入的方程，整理得（3）（4）（4）（3）得，点总在定直线上即点的轨迹与无关40（2015株洲一模）如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点（1）如果点的坐标为，求椭圆的方程；（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论【解答】解：（1）解方程组得点的坐标为，将代入上式解得，；点的坐标为，；（2），点的坐标为，即将的方程代入椭圆的方程得，方程可化为解得直线与椭圆只有一个公共点
