1、第44讲 解析几何中的极点极线问题 一选择题（共4小题）1（2021柯桥区模拟）过点的两条直线，分别与双曲线相交于点，和点，满足，且若直线的斜率，则双曲线的离心率是ABC2D2（2021武汉模拟）已知椭圆内有一点，过的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中，且，若变化时，的斜率总为，则椭圆的离心率为ABCD3（2021武汉模拟）已知，分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于，两点（点，异于，则直线，的斜率之比ABCD4（2021湖北月考）已知椭圆的左右顶点分别为，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，则AB3CD2二填
2、空题（共4小题）5已知椭圆内有一点过点的两条直线分别与椭圆相交于和，两点若，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为6（2021龙凤区校级月考）已知椭圆内一点，过点的两条直线，分别与椭圆交于，和，两点，且满足（其中且，若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为7设为椭圆的右焦点，过椭圆外一点作椭圆的切线，切点为，若，则点的轨迹方程为8（2021南通模拟）若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是三解答题（共32小题）9（2021朝阳区校级期中）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为（）求椭圆的方程；（）如图，已知，是椭圆上
3、不同于顶点的两点，直线与交于点，直线与交于点若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程10（2021常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，点，分别是椭圆的左、右顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程；（2）当直线过椭圆的短轴顶点时，求的面积11（2021邗江区校级期中）如图，已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方（1）求椭圆的标准方程；（2）记，的面积分别为，若，求的值；（3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，的斜率分别为，求的值12（2021春射洪市期末）如图，已知椭圆
4、的左，右焦点分别为，、分别是椭圆的左、右顶点，短轴为，长轴长是焦距的2倍，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于、两点（1）若时，记、的面积分别为、，求的值；（2）记直线、的斜率分别为、，是否存在常数使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由13（2021全国模拟）椭圆的右焦点为，规定直线为椭圆的右准线，椭圆上的任意一点到右焦点的距离与其到右准线的距离之比为已知椭圆（1）若点，是椭圆上的任意一点，求的最小值；（2）若，分别是椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，非顶点），证明：直线与的交点在椭圆的右准线上14（2021南平二模）已知椭圆（）若椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆
5、截得弦长为求椭圆方程；过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，若，求直线的斜率；（）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两条直线分别与椭圆交于点，和，且，类比（）直接写出直线的斜率（不必证明）15（2021安徽模拟）设，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于，和，若（）证明：直线的斜率为定值；（）过点作的平行线，与椭圆交于，两点，证明：点平分线段16（2021安阳三模）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其短轴长为2，离心率为点，为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点的两直线分别与椭圆交于点，和，且（）求椭圆的标准方程；（）证明：直线的斜率为定值17（2021南昌一模）已
6、知抛物线的焦点为，过点且斜率为的动直线与抛物线交于，两点，直线过点，且点关于直线的对称点，（1）求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；（2）过点且垂直于的直线交轴于点，与抛物线的另一个交点分别为，记的面积为，的面积为，求的取值范围18（2021金华模拟）如图，已知抛物线，过点的直线斜率为，与抛物线交于，两点（）求斜率的取值范围；（）直线与轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，设直线与直线的交点的横坐标为，是否存在这样的，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由19（2021新津县校级月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点
7、，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由20（2015四川）如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由21（2021秋西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为（）求抛物线的方程；（）设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点22（2021秋西城区校级期中）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为（）求抛物线的方程
8、；（）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；（）过（）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，求，交点满足的轨迹方程23（2021越秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点设抛物线的焦点为（1）若点在抛物线上且，求抛物线的方程；（2）证明为定值24（2021浙江）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在上（）设中点为，证明：垂直于轴；（）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围25（2021金安区校级期末）如图所示，已知点，是轴左侧一点，
9、抛物线上存在不同的两点，中点为，的中点均在上（1）求证：；（2）若是半椭圆上的动点，求长度的取值范围26（2021杨浦区期末）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在抛物线上（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，证明：；（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值27（2021怀化一模）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，点为抛物线的焦点，且抛物线上存在不同的两点，（1）若中点为，且满足，的中点均在上，证明：垂直于轴；（2）若点，在该抛物线上且位于轴的两侧，为坐标原点），且与的面积分别为和，求最小值28（2021秋通州区期末）如图，已知椭圆经过点，
10、离心率（）求椭圆的标准方程；（）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，的斜率分别为，求证：，成等差数列29（2013江西）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由30（2021张掖期末）如图，椭圆的两顶点，过其焦点的直线与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点（1）当时，求直线的方程；（2）当点异于，两点时，求证：点与点横坐标之积为定值31（2021秋枣强县校级期末）椭圆的两顶点为，如图，离心率为，过其焦点的直线与
11、椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点（）当时，求直线的方程；（）当点异于，两点时，求证：为定值32（2015秋成都校级月考）在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为设过点的直线，与此椭圆分别交于点，其中，（）设动点满足：，求点的轨迹；（）设，求点的坐标；（）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标33（2021春南开区校级月考）已知椭圆的右焦点为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若求证：直线经过定点34（2021北京）已知椭圆的右焦点为，且经过点（）求椭圆的方程；
12、（）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点若，求证：直线经过定点35（2012福建）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上（1）求抛物线的方程；（2）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点证明以为直径的圆恒过轴上某定点36（2013崇明县一模）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究：以为直径的圆与轴的位置关系？在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由37（2021江西）
13、如图，已知双曲线的右焦点为，点，分别在的两条渐近线上，轴，为坐标原点）（1）求双曲线的方程；（2）过上一点，的直线与直线相交于点，与直线相交于点证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值38（2021青浦区三模）曲线（1）若曲线表示双曲线，求的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的范围；（3）设，曲线与轴交点为，在上方），与曲线交于不同两点，与交于，求证：，三点共线39（2011春绍兴校级期末）设椭圆过点，离心率为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关40（2015株洲一模）如图，点、分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点（1）如果点的坐标为，求椭圆的方程；（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论
