1、第2课时分段函数教材要点要点分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数状元随笔1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数2分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的如y1, -2x0，x，0x3，其“段”是不等长的基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)分段函数由几个函数构成()(2)函数f(x)x+1，x1，-x+3，x1是分段函数()(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数()(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为.()2(多选)下列给出的式子是分段函数的是()A
2、f(x)x2+1，1x52x，x1Bf(x)x+1，xRx2，x2Cf(x)2x+3，1x5x2，x1Df(x)x2+3，x0x-1，x53已知函数f(x)1x+1，x-1，x-1，x1，则f(2)等于()A0B13C1D24函数f(x)x2，x0-2，x0的定义域为_，值域为_题型1分段函数求值问题角度1分段函数求值例1已知函数f(x)x+1，x-23x+5，-2x22x-1，x2求f(5)，f(1)，ff-52变式探究本例中的条件不变，若f(a)3，求实数a的值角度2解分段函数不等式例2已知函数f(x)x-4，x2，x2-4x+3，x2，求不等式f(x)0的解集方法归纳1分段函数求值(1)
3、分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得(2)含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解2解分段函数不等式要注意分类讨论，分类标准是分段函数的分段区间先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，最后取并集即可跟踪训练1(1)已知f(x)x2-1，x1，-x+1，x1，若f(x)1，则x_(2)已知函数f(x)x，x-2，x+1，-2x4，3x，x4，若f(a)3，则a的取值范围为_分段函数的图象与应用例3已知f(x)x3，g(x)32x12，h(x)x24
4、x3.(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)，h(x)的图象(2)xR，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，记作M(x)f(x)，g(x)，h(x)，请分别利用图象法和解析法表示函数M(x)，并求M(x)的值域方法归纳分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏跟踪训练2已知f(x)x2，-1x11，x1或x
5、-1(1)作出f(x)的图象；(2)求f(x)的值域题型3分段函数在实际问题中的应用例4为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)方法归纳分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理跟踪训练3某地区的电力紧缺，电力
6、公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：(1)求y关于x的函数解析式(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？易错辨析不能正确理解分段函数致误例5已知函数f(x)x+2，x-1x2，-1x2，2x，x2，若f(a)3，则a的值为_解析：当a1时，有a23，即a1，与a1矛盾；当1a2时，有a23，a3或a3(舍去)；当a2时，有2a3，a32，与a2矛盾综上可知a3.答案：3易错
7、警示易错原因纠错心得忽视对a的讨论致误涉及自变量为参数的分段函数求参数问题，应根据参数与分段函数的定义域的关系分类讨论课堂十分钟1f(x)|x1|的图象是()2著名的Dirichlet函数D(x)1，x为有理数，0，x为无理数，则D(D(x)等于()A0 B1C1，x为无理数，0，x为有理数 D1，x为有理数，0，x为无理数3在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线yf(x)，另一种是平均价格曲线yg(x)例如，f(2)3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元下图给出的四个图象中，实线表示yf(x)，虚线表示yg(x)，其中可能正确的是
8、()4设函数f(x)x2+1，x1x2+x-2，x1，则f(f(1)的值为_5已知函数f(x)3x2-2x，x1，-2x2+3，x1，求使f(x)2成立的x的值组成的集合第2课时分段函数新知初探课前预习基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2答案：AD3答案：C4答案：(，0)0，+20，+题型探究课堂解透例1解析：由5(，2，1(2，2)，52(，2，知f(5)514，f(1)3158，ff-52f-52+1f-323-32512.变式探究解析：当a2时，f(a)a13，即a22，不合题意，舍去；当2a2时，f(a)3a53，即a23(2，2)，符合题意；当a2时，f(a)2a13，即a2
9、2，)，符合题意综上可得，当f(a)3时，a的值为23或2.例2解析：当x2时，x40，解得2x4.当x2时，x24x30，解得1x2.综上，f(x)1时，x11，解得x2；当x1时，x211，解得x0.综上，x0或x2.(2)当a2时，f(a)a3，此时不等式的解集为(，3)；当2a4时，f(a)a13，此时不等式无解；当a4时，f(a)3a3，此时不等式无解故a的取值范围为(，3)答案：(1)0或2(2)(，3)例3解析：(1)由题意可以画出函数f(x)x3，g(x)32x12，h(x)x24x3在同一坐标系下的图象：(2)由图中函数的取值情况，结合函数M(x)的定义，可得M(x)的图象为
10、：结合图象得函数M(x)x2-4x+3，x0，-x+3，0x1，32x+12，1x1或x1时，f(x)1，所以f(x)的值域为0，1.例4解析：设本季度他应交的水费为y元，当0x5时，y1.2x；当5x6时，应把x分成两部分：5与x5分别计算，第一部分收基本水费1.25元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.2(x5)1.2(x5)200%1.2(x5)(1200%)元，所以y1.251.2(x5)(1200%)3.6x12；当6x7时，同理可得y1.251.2(1200%)1.2(x6)(1400%)6x26.4.综上，可得y1.2x，0x5，3.6x-12，5x6，6x-26.4，61
11、00时，设函数解析式为yaxb(a0)将x100，y65和x130，y89代入，得100a+b=65，130a+b=89，解得a=0.8，b=-15.所以y0.8x15.综上可得y0.65x，0x100，0.8x-15，x100.(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元(3)当x62时，y620.6540.3(元)；当y105时，因为0.6510065100，所以1050.8x15，解得x150.即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电课堂十分钟1答案：B2答案：B3答案：A4答案：45解析：由题意可得x1，3x2-2x2，或x1，-2x2+32.由x1，3x2-2x2，解得1x1+73；由x1，-2x2+32，解得x22或22x1.综上所述，使f(x)2成立的x的值组成的集合为x|x-22或22x1+73.