1、1.2函数的极值A组1.若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,则a的值是()A.0B.1C.5D.6解析:f(x)=2x3-3x2+a,f(x)=6x2-6x=6x(x-1).令f(x)=0,得x=0或x=1,经判断易知极大值为f(0)=a=6.答案:D2.函数y=14x4-13x3的极值点的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:y=x3-x2=x2(x-1),由y=0得x1=0,x2=1.当x变化时,y,y的变化情况如下表:x(-,0)0(0,1)1(1,+)y-0-0+y无极值极小值因此函数只有一个极值点.答案:B3.下列函数中,x=0是其极值点的是()A.y=-x3B.y=-
2、cos xC.y=sin x-xD.y=1x解析:A.y=-3x20恒成立,所以函数在R上是减少的,无极值点.B.y=sinx,当-x0时函数是减少的,当0x0得m的取值范围为(-,-3)(6,+).答案:B5.已知a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为()A.2B.3C.6D.9解析:f(x)=4x3-ax2-2bx+2,f(x)=12x2-2ax-2b.又f(x)在x=1处取得极值,f(1)=12-2a-2b=0,a2+24b0.a+b=6,t=aba+b22=9(当且仅当a=b=3时等号成立),tmax=9,故选D.答案:D6.
3、函数f(x)=a+lnxx(aR)的极大值等于.解析:f(x)=(1-a)-lnxx2,令f(x)=0,得x=e1-a,当0x0;当xe1-a时,f(x)0,所以函数的极大值等于f(e1-a)=1e1-a=ea-1.答案:ea-17.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为.解析:由题意,f(x)=3x2+2x-a,则f(-1)f(1)0,即(1-a)(5-a)0,解得1a5,另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点.故实数
4、a的取值范围为1,5).答案:1,5)8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值52.(1)求a,b的值;(2)求函数的另一个极值.解(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,所以f(x)=3x2+2ax+b.依题意可得f(1)=0,f(1)=52,即3+2a+b=0,1+a+b+4=52,解得a=-12,b=-2.(2)由(1)知f(x)=x3-12x2-2x+4,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令f(x)=0,得x=-23或x=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值
5、极小值所以函数的另一个极值在x=-23处取得,是极大值,极大值为f-23=13027.9.导学号01844045已知二次函数f(x)=ax2+bx-1在x=-1处取得极值,且f(x)的图像在点(0,-1)处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=xf(x)+2x的极值.解(1)由f(x)=ax2+bx-1,得f(x)=2ax+b.由题设,可得f(-1)=0,f(0)=2,即-2a+b=0,b=2,解得a=1,b=2.所以f(x)=x2+2x-1.(2)由(1),得g(x)=xf(x)+2x=x3+2x2+x,所以g(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x
6、+1).令g(x)=0,解得x=-1或x=-13,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1-1,-13-13-13,+g(x)+0-0+g(x)极大值极小值所以g(x)的极大值为g(-1)=-1+2-1=0,极小值为g-13=-127+29-13=-427.B组1.设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点解析:求导得f(x)=ex+xex=ex(x+1),令f(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1,当x-1时,f(x)-1时,f(x)0,从而x=-1是函
7、数f(x)的极小值点.答案:D2.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427,0B.0,427C.-427,0D.0,-427解析:f(x)=3x2-2px-q,由f(1)=0,f(1)=0,得3-2p-q=0,1-p-q=0,解得p=2,q=-1,f(x)=x3-2x2+x.由f(x)=3x2-4x+1=0,得x=13或x=1,易得当x=13时f(x)取极大值427.当x=1时f(x)取极小值0.答案:A3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是()A.-1a2B.-3a6C.a2D
8、.a6解析:f(x)=3x2+2ax+a+6,f(x)有极大值与极小值,f(x)=0有两不等实根,=4a2-12(a+6)0,a6.答案:D4.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点,则a的取值范围是.解析:f(x)=3x2-3,由3x2-3=0得x=1或x=-1,当x1时,f(x)0,f(x)是增加的;当-1x1时,f(x)0,f(x)是减少的.当x=-1时,f(x)取到极大值f(-1)=2,当x=1时,f(x)取到极小值f(1)=-2,欲使直线y=a与函数f(x)的图像有相异的三个公共点,应有-2a1时,y0,当-1x1时,y0,当x-1时,y0,故x=1为y=3x-
9、x3的极大值点,即b=1.c=3b-b3=31-1=2,bc=2.又a,b,c,d成等比数列,ad=bc=2.答案:26.导学号01844046(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.解(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-43处取得极值,所以f-43=0,即3a169+2-43=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,故g(x)=32x2+2xex+12x3+x2ex=12x3+52x2+2xex=12x(x+
10、1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)是减少的;当-4x0,故g(x)是增加的;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)是增加的.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)上是减少的,在(-4,-1)和(0,+)上是增加的.7.导学号01844047设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(-,+)内无极值点,求a的取值范围.解由f(x)=a3x3+bx2+cx+d,得f(x)=ax2
11、+2bx+c.因为f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0.(*)(1)当a=3时,由(*)式得2b+c-6=0,8b+c+12=0.解得b=-3,c=12.又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0.故f(x)=x3-3x2+12x.(2)因为a0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-,+)内无极值点”等价于“f(x)=ax2+2bx+c0在(-,+)内恒成立”.由(*)式得2b=9-5a,c=4a.又=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),解a0,=9(a-1)(a-9)0得a1,9,即a的取值范围是1,9.