1、综合能力训练二(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.全集U=R,A=x|-2x1,B=x|-1x3,则B(UA)=()A.x|1x3B.x|-2x3C.x|x-2,或x-1D.x|x32.已知双曲线-y2=1的一条渐近线方程是y=x,则双曲线的离心率为()ABCD3.一个简单几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是等腰直角三角形,则该几何体的体积为()ABCD4.(2017浙江绍兴诸暨二模)已知实数x,y满足则目标函数z=x-y的最小值等于()A.-1B.-2C.2D.15
2、.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为()A.2B.-1或-3C.2或-3D.-1或26.已知等差数列an的前n项和为Sn,公差为d,且a1=-20,则“3d5”是“Sn的最小值仅为S6”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设函数y=xcos x-sin x的图象上的点(x0,y0)处的切线的斜率为k,若k=g(x0),则函数k=g(x0)的图象为()8.已知X的分布列如表:X-1012Pabc且b2=ac,a=,则E(X)=()ABCD9.在边长为a的等边三角形ABC中,ADBC于点D,沿AD折成二面角B
3、-AD-C后,BC=a,这时二面角B-AD-C的大小为()ABCD10.已知ABC的面积为8,cos A=,D为BC上一点,过点D作AB,AC的垂线,垂足分别为E,F,则=()AB.-CD.-二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.九章算术是我国古代的数学名著,书中均属章有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知A,B,C,D,E五人分5钱,A,B两人所得与C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中,E得钱.12.若复数z=4+3
4、i,其中i是虚数单位,则复数z的模为,的值为.13.(2017浙江镇海中学5月模拟)(x2+1)的展开式所有项系数和为,常数项为.14.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,b=,C=30,则c=,ABC的面积S=.15.在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则CPCD=,=.16.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有种.17.已知函数f(x)=|xex|,方程f2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四个不同的实数根,则t的取值范
5、围为.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量(1)若x=,求点Q的坐标;(2)已知函数f(x)=,令g(x)=f(x)f,求函数g(x)的值域.19.(本小题满分15分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,ACC1=CC1B1=60,AC=2.(1)求证:AB1CC1;(2)若AB1=,求二面角C-AB1-A1的余弦值.20.(本小题满分15分)已知f(x)=2xln x,g(x)=-x2+ax-
6、3.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x(0,+),使f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.21.(本小题满分15分)已知M(-,0),N(,0)是平面上的两个定点,动点P满足|PM|+|PN|=2(1)求动点P的轨迹方程;(2)已知圆方程为x2+y2=2,过圆上任意一点作圆的切线,切线与(1)中的轨迹交于A,B两点,O为坐标原点,设Q为AB的中点,求|OQ|长度的取值范围.22.(本小题满分15分)已知数列an满足a1=2,an+1=2(Sn+n+1)(nN*),令bn=an+1.(1)求证:bn是等比数列;(2)记数列nbn的前n项和为Tn,求Tn;(3)求证:+参考答案综合
7、能力训练二1.C解析 由全集U=R,A=x|-2x1,得到UA=x|x1,又B=x|-1x3,根据题意画出图形,如图所示:则B(UA)=x|x-2,或x-1.故选C.2.D解析 双曲线的渐近线方程是y=x,所以,即a=,b=1,c2=a2+b2=4,即c=2,e=,故选D.3.A解析 由三视图知,如图,原几何体是一个三棱锥S-ABC,底面是等腰直角三角形,且面积为21=1,高为SD=,其体积为1.4.B解析 由不等式组得到可行域如图,目标函数变形为y=x-z,当此直线经过图中的点B时z最小,所以最小值为z=0-2=-2.故选B.5.D解析 函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+
8、a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数,f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.当0a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,a上是增函数,在a,1上是减函数,f(x)max=f(a)=a2-a+1.由a2-a+1=2,解得a=或a=.01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数,f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,a=2.综上可知,a=-1或a=2.6.B解析 Sn的最小值仅为S6,a60,d4,故“3d5”是d0且接近0时,g(
9、x0)=-x0sin x00,故排除B,故选C.8.A解析 由概率的性质及已知b2=ac,a=可知a+b+c+=1,即+b+2b2+=118b2+9b-2=0,解之,得b=或-(舍去),故c=2b2=,E(X)=-a+c+2=-+2,故选A.9.A解析 在边长为a的等边三角形ABC中,ADBC于点D,沿AD折成二面角B-AD-C,由定义知,BDC为所求二面角B-AD-C的平面角,又BC=BD=DC=a,BDC为等边三角形.BDC=.二面角B-AD-C的大小为.10.B解析 如图所示,在ABC中,cos A=,sin A=.SABC=|sin A=|=8,即|=20.设=,(0,1),则+()=
10、(1-)+,又,=.=3.SABD=|=8=6,|=12.又SACD=|=2,|=4.|=48.|=,=|EDF=-.11.解析 设A,B,C,D,E每人所得依次为a1,a2,a3,a4,a5,由题设a1+a2+a3+a4+a5=5,且a1+a2=a3+a4+a5,即故a5=a1+4d=.12.5i解析 |z|=5,i.故答案为5,i.13.-2-42解析 令x=1可得所有项系数和为-2,又由于的通项为(-2)r,故(x2+1)的展开式的常数项是(-2)+(-2)5=-42.14.1解析 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=1+3-21=1,c=1,SABC=absin C=1.15
11、.-1解析 以BC,BA为邻边作矩形ABCE,则,故P是BE的中点,从而可知PD=AB=1,CP=AC=,CD=,CPCD=.cosCPD=-,=|cosCPD=1=-1.16.150解析 5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.当5名学生分成2,2,1时,共有=90种方法;当5名学生分成3,1,1时,共有=60种方法.由分类加法计数原理知共有90+60=150种保送方法.17.解析 f(x)=|xex|=当x0时,f(x)=ex+xex0恒成立,所以f(x)在0,+)上为增函数;当x0,f(x)为增函数,当x(-1,0)时,f(x)=-ex(x+1)0,则只需g0,即t+10,解得t-
12、,所以,使得函数f(x)=|xex|,方程f2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四个实数根的t的取值范围是.18.解 (1)由已知得xQ=cos=cos cos -sin sin ,yQ=sin=sin cos +cos sin ,所以点Q的坐标为.(2)函数f(x)=cossin=cos x-sin x+cos x+sin x=cos x,于是,g(x)=cos xcossin 2x=sin.因-1sin1,故g(x)的值域为.19.(1)证明 连接AC1,CB1,则ACC1和B1CC1皆为正三角形.取CC1中点O,连接OA,OB1,则CC1OA,CC1OB1,所以CC1平面OAB1.所以
13、CC1AB1.(2)解 由(1)知,OA=OB1=,又AB1=,所以OAOB1.如图所示,分别以OB1,OC1,OA为正方向建立空间直角坐标系,则C(0,-1,0),B1(,0,0),A(0,0,),设平面CAB1的法向量为m=(x1,y1,z1),因为=(,0,-),=(0,-1,-),所以令z1=1,则m=(1,-,1).设平面A1AB1的法向量为n=(x2,y2,z2),因为=(,0,-),=(0,2,0),所以令z2=1,则n=(1,0,1).则cos=,因为二面角C-AB1-A1为钝角,所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-.20.解 (1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2
14、(ln x+1),令f(x)=0,得x=,当x时,f(x)0,所以f(x)在上单调递减;在上单调递增.(2)存在x(0,+),使f(x)g(x)成立,即2xln x-x2+ax-3在x(0,+)上能成立,等价于a2ln x+x+在x(0,+)上能成立,等价于a.记h(x)=2ln x+x+,x(0,+),则h(x)=+1-.当x(0,1)时,h(x)0,所以当x=1时,h(x)取最小值为4,故a4.21.解 (1)由题意知,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=,c=,b=,所以动点P的轨迹方程为=1.(2)若直线AB斜率不存在,则直线AB的方程为x=,此时,|OQ|=.若直线AB斜率存在,设
15、直线AB方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0,所以x1+x2=-,x1x2=.所以y1+y2=k(x1+x2)+2b=.故点Q的坐标为.因为直线AB与圆O相切,所以,即b2=2(1+k2),所以|OQ|2=2.当k=0时,|OQ|=,当k0时,|OQ|2=2.当且仅当4k2=时,等号成立,所以|OQ|.22.(1)证明 a1=2,a2=2(2+2)=8,an+1=2(Sn+n+1)(nN*),an=2(Sn-1+n)(n2),两式相减,得an+1=3an+2(n2),经检验,当n=1时上式也成立,即an+1=3an+2(n1).有an+1+1=3(an+1),即bn+1=3bn,且b1=3,故bn是等比数列.(2)解 由(1)得bn=3n,Tn=13+232+333+n3n,3Tn=132+233+334+n3n+1,两式相减,得-2Tn=3+32+33+3n-n3n+1=-n3n+1,化简得Tn=3n+.(3)证明 由,得+,又,有+=,故+.
